Guía Elemental de la Geometría

GUÍA ELEMENTAL DE LA GEOMETRÍA CONCEPTOS GEOMÉTRICOS ELEMENTALES PARA EL ANÁLISIS Y ESTUDIO DEL ASALTO Y SUS MEDIOS ACADEMIA DE ESGRIMA LÁSER Marcelino Miguel Castro Maestro en la disciplina de la Esgrima Láser Kigen de la Academia de Esgrima Láser Linares, 2023 Queda terminantemente prohibida la copia y reproducción parcial o total del contenido de este volumen, sin consentimiento expreso del Kigen de la Academia de Esgrima Láser. Si el permiso de difusión o copia de este libro fuese concedido, se habrá de nombrar este volumen como fuente, así como los autores del mismo. “Esgrima Láser” y “Academia de Esgrima Láser” son marcas registradas, sujetas a las normas de la propiedad intelectual de España, 2023. Queda prohibido el uso de estos términos para la descripción, publicidad o fines comerciales de entidades terceras, sin permiso expreso del Kigen de la Academia de Esgrima Láser. ACADEMIA DE ESGRIMA LÁSER - MAESTRO MARCELINO MIGUEL. 2023. © (TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS) - Primera edición - NRA: AELMM20231123001 ÍNDICE Introducción Preámbulo 3 Breve historia de la geometría Geometría en Egipto 7 Geometría en Grecia 9 Geometría en china 19 Geometría en la India 21 Geometría árabe e islámica 23 Geometría analítica 27 Generalidades de la geometría Definición de la geometría 31 Elementos geométricos elementales 33 Postulados generales de la geometría 35 Clasificación de la geometría 39 Geometría euclidiana Propiedades de existencia 43 Propiedades de congruencia 44 Punto 45 Recta 46 Segmento 47 Rayo 48 Plano 49 Ángulos 51 Triángulos 53 Cuadriláteros 59 Polígonos regulares e irregulares 63 Circunferencia 67 Geometría métrica, distancia y norma 73 Perímetro y área 75 Teorema de Pitágoras 77 Teorema de Herón 79 Teorema de Tales 81 Geometría espacial Geometría espacial, generalidades 87 Espacio tridimensional 91 Poliedros 95 Cuerpos redondos 99 Poliedros de Arquímedes y de Kepler-Poinsot 101 Geometría algebraica Coordenadas cartesianas y polares 105 Vectores 107 Matrices 111 Curvas y superficies algebraicas 113 Geometría no euclidiana Geometría no euclidiana, generalidades 117 Geometría elíptica 119 Geometría hiperbólica 121 Geometría proyectiva 123 Geometría afín 125 Geometría diferencial 127 Bibliografía 131 INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN 3 Preámbulo: La geometría es la disciplina, matemática y científica, que estudia las formas, las medidas, las posiciones y las relaciones de los objetos en el espacio. La geometría ha sido, es y será una herramienta fundamental para comprender y describir el universo al que pertenece el ser humano, así como para resolver problemas prácticos de diversas disciplinas, y hacerlo de una manera eficiente. Entre las disciplinas beneficiadas del análisis geométrico se encuentra la esgrima, en cualquiera de sus formas. Sin embargo, la Esgrima Láser tiene una naturaleza filosófica que la hace más propicia para ser estudiada y hacer estudio de la geometría, pues esta es el núcleo ontológico, y contenido, de la concepción práctica de los recursos marciales de los que dispone y desarrolla. “El conocimiento de la geometría dará luz para distinguir lo eficiente de lo meramente eficaz.” Este libro tiene como objetivo hacer que el esgrimista, o cualquier otro estudiante marcial, se familiarice con la geometría como elemento y herramienta más fundamental del análisis de lo acontecido y acontecible en el asalto, que condicionará su obra. Se podría decir que este volumen ilustra al lector de manera universal, sin embargo, resulta ser un libro idealmente destinado al estudiante académico de esgrima, pues esta utiliza la geometría como lenguaje y como método. Las virtudes del estudio de la geometría se ven magnificadas al aplicarse a la Esgrima Láser, pues el desarrollo, comprensión y aplicación de esta es directamente sostenido en la geometría que junto a la dinámica y el propósito, conforman la obra esgrimística en su totalidad. “La Esgrima Láser está sostenida en la geometría, en la dinámica y el conocimiento que atribuye propósito a la obra.” Con este volumen no se pretende enseñar fórmulas o teoremas, pese a estar presentes y/o ser explicados, sino que el propósito es mostrar la geometría en sus conceptos más elementales, explicándolos para evitar ambigüedades y equívocos al ser receptor de un discurso formal y académico. Siendo así, el mero conocimiento de la existencia de los conceptos geométricos hará que un individuo adquiera una perspectiva ilustrada sobre la configuración del medio y los eventos, que puede ayudar a hacer más fácil el análisis, llegando a producirse este de manera inconsciente. Por tanto, la adquisición y comprensión los términos técnicos tenderá a aumentar la eficiencia en el rendimiento, la técnica y la táctica del esgrimista, tanto dentro como fuera del asalto, asistiendo evitar el conflicto, o al menos, a gestionar sus causas y efectos. INTRODUCCIÓN4 “Un tirador será más eficiente con tan solo conocer los distintos elementos que componen en análisis geométrico.” Para lograr este propósito, el libro no contiene ilustraciones, sino que se basa en la descripción verbal de los elementos, conceptos y organizaciones posibles de la geometría. De esta manera, se busca estimular la abstracción, la imaginación, la visualización espacial y la consciencia posicional del lector, así como desarrollar su capacidad de razonamiento lógico y deductivo. Se espera que el lector sea capaz abstraer, y crear en su mente las imágenes virtuales que corresponden a las palabras, haciendo que pueda aplicarlas a su propia práctica de la esgrima, llenando esta de razón y sentido. Un desafío presente es el de dominar el lenguaje específico de la Esgrima Láser, que es notablemente más profundo y complejo que el de la esgrima clásica. El léxico de la Esgrima Láser abarca desde los términos propios de la física y la óptica, hasta los términos propios de la geometría, siendo estos instrumentos básicos para la correcta comprensión e interacción entre tiradores, concretamente en el contexto académico y didáctico. Es por ello, que se precisa que exista un trabajo como el que contiene estas líneas, que pueda auxiliar al lector y asistirle a adquirir la terminología, a comprenderla y a aplicarla a aquello que pueda ser necesario. “Se puede afirmar que la profundidad del léxico de la Esgrima Láser y la compresión de la geometría, sin ayuda de ilustraciones pictóricas, son dos aspectos que contribuyen al enriquecimiento y al perfeccionamiento de la Esgrima Láser como disciplina marcial, así como al desarrollo intelectual y cultural de sus practicantes.” Se espera que este libro sea de utilidad y de interés para todos los estudiantes de la Esgrima Láser o cualquier practicante de esta que pueda precisar la revisión de lo sabido. Así mismo, se pretende que este volumen pueda ilustrar a cualquier otro lector, con la suficiente curiosidad, que pretenda profundizar en las entrañas del conocimiento, entendiendo los aspectos fundamentales con los que analizamos nuestra realidad. “Este libro pretende iluminar al lector, acrecentando su conocimiento sobre la geometría, llevándole con ello a entender con precisión las causas y efectos del uso de las armas, así como a evitarlo.” ———— BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA7 Geometría en Egipto: El origen de la geometría se remonta a la cultura egipcia, en el IV milenio a.C., cuando los egipcios inventaron un sistema de numeración y de escritura jeroglífica, que incluía símbolos geométricos para representar números y conceptos matemáticos. Los egipcios utilizaban la geometría para medir y delimitar las tierras de cultivo, que se veían afectadas por las crecidas y las bajadas del río Nilo. También empleaban la geometría para construir edificios, monumentos, canales y embalses. El primer documento matemático egipcio que se conserva es el Papiro de Moscú, que data del siglo XVIII a.C. Este papiro contiene 25 problemas de geometría, aritmética y álgebra, que se resuelven mediante métodos empíricos y algoritmos. Entre los problemas geométricos, se encuentran el cálculo del área de un triángulo, de un trapecio, de un círculo y de una superficie curva, así como el cálculo del volumen de una pirámide truncada y de un cilindro. El segundo documento matemático egipcio que se conserva es el Papiro de Ahmes, que data del siglo XVI a.C. Este papiro contiene 87 problemas de geometría, aritmética, álgebra y teoría de números, que se resuelven mediante métodos similares a los del Papiro de Moscú. Entre los problemas geométricos, se encuentran el cálculo del área de un rectángulo, de un cuadrado, de un rombo, de un hexágono regular y de un círculo, así como el cálculo del volumen de una pirámide, de un prisma y de una esfera. El Papiro de Ahmes también contiene el valor aproximado de Π, que se obtiene al dividir el área de un círculo por el cuadrado de su diámetro, dando como resultado 256/81, que es equivalente a 3,1605. El tercer documento matemático egipcio que se conserva es el Papiro de Kahun, que data del siglo XVIII a.C. Este papiro contiene problemas de geometría, aritmética y álgebra, que se relacionan con la administración, la contabilidad, la medicina y la astronomía. Entre los problemas geométricos, se encuentran el cálculo del área de un triángulo, de un rectángulo y de un trapecio, así como el cálculo de la longitud de la sombra proyectada por un gnomon o reloj de sol. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA8 El cuarto documento matemático egipcio que se conserva es el Papiro de Berlín, que data del siglo XVIII a.C. Este papiro contiene problemas de geometría, aritmética y álgebra, que se relacionan con la construcción, la ingeniería y la astronomía. Entre los problemas geométricos, se encuentran el cálculo del área de un círculo, de un trapecio y de una elipse, así como el cálculo del volumen de una pirámide, de un cono y de una esfera. El Papiro de Berlín también contiene el valor aproximado de la raíz cuadrada de 2, que se obtiene al sumar 1 y 1/3 de 1/3 de 1/9, dando como resultado 1,4142. Estos documentos muestran que los egipcios tenían un conocimiento avanzado de la geometría plana y espacial, así como de las proporciones y las semejanzas. Sin embargo, los egipcios no desarrollaron una geometría deductiva, basada en la lógica y la demostración, como lo hicieron los griegos posteriormente. Según los registros arqueológicos, los egipcios se limitaban a aplicar fórmulas y algoritmos, sin explicar ni justificar sus procedimientos. La geometría egipcia fue, en gran medida, la precursora de la geometría griega, que alcanzó su máxima expresión con Euclides y su obra Los Elementos. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA9 Geometría en Grecia: La geometría griega es una de las más importantes ramas de la matemática, que se desarrolló desde el siglo VI a.C. hasta el siglo III d.C. Los matemáticos griegos, inspirados por las culturas egipcia, mesopotámica e india, hicieron grandes descubrimientos y aportaciones a la geometría, que sentaron las bases de la geometría moderna. Tales de Mileto: El inicio de la geometría griega se atribuye a Tales de Mileto (hacia 624 a.C. - 546 a.C.), considerado el primer filósofo y el primer matemático de la historia. Tales viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes, y la aplicó a problemas prácticos, como el cálculo de la altura de las pirámides y la distancia de los barcos desde la costa. En su trabajo y desarrollo, introdujo el concepto de demostración, es decir, la justificación lógica de una afirmación a partir de principios aceptados. Se le atribuyen varios teoremas, como el que afirma que los ángulos opuestos por el vértice son iguales, o el que establece que un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. Tales, por ser pionero y clave para el entendimiento de las matemáticas y la filosofía universal, es tomado para dar nombre a uno de los compases más elegantes de la Esgrima Láser. Este es el llamado compás de Tales, que resulta ser una herramienta fundamental para el tirador avanzado, pues posibilita una planta en línea de manera eficiente. Compás de Tales: El compás de Tales es aquel medio compás transversal extraño de alcance al lado hábil, que desde una planta transversal de medio recto, hábil y relajada, dará lugar a una planta en línea de medio recto, hábil y relajada. El compás de Tales genera el tránsito transversal en ruptura mínimo funcional, con una ganancia de recta escasa, nula o negativa, y una desviación de recta al lado hábil, emergiendo la triangulación sobre el plano inferior, mientras el agente aumenta sutilmente el diámetro común, posibilitando su salida del medio proporcional paciente y quedando predispuesto para la obra con acción accidental del arma, potencialmente asistida por el tumbado de cuerpo. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA10 Pitágoras de Samos: El discípulo de Tales, Pitágoras de Samos (hacia 582 a.C. - 507 a.C.), fundó una escuela filosófica y religiosa, conocida como los pitagóricos, que se dedicó al estudio de las matemáticas, la música, la astronomía y la ética. Los pitagóricos creían que todo estaba regido por los números y las proporciones, y que la geometría era la clave para comprender el orden del cosmos. Estos descubrieron las ternas pitagóricas, es decir, los conjuntos de tres números enteros que cumplen el teorema de Pitágoras, que relaciona los lados de un triángulo rectángulo. También descubrieron la existencia de los números irracionales, es decir, los que no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros, como la raíz cuadrada de dos, que es la razón entre la diagonal y el lado de un cuadrado. Este descubrimiento supuso una crisis para los pitagóricos, que cuestionaba su visión aritmética del mundo. Pitágoras, por su importancia en la filosofía universal y otras disciplinas, se toma como ejemplo en la Esgrima Láser, otorgándole su nombre a una de las expresiones más elementales de esta, como es el compás de Pitágoras. Dicho compás será un recurso fundamental de la destreza laserina, que posibilitará organizar la planta en línea, aportando adicionalmente una sutil ganancia y desviación de recta, que dará lugar a un leve y funcional desfase del agente. Compás de Pitágoras: El compás de Pitágoras es aquel medio compás transversal de alcance al lado no hábil, que desde una planta transversal de medio recto, hábil y relajada, dará lugar a una planta en línea de medio recto, hábil y relajada. El compás de Pitágoras genera el tránsito transversal mínimo funcional, en marcha, con una sutil ganancia y desviación de recta al lado no hábil, haciendo que emerja la triangulación sobre el plano inferior, posibilitando la introducción del paciente en el medio proporcional agente, de manera eficiente y elegante, auxiliado por un ligero desfase del foco paciente, quedando predispuesto para la obra con acción accidental del arma, potencialmente asistida por el tumbado de cuerpo. Adicionalmente, también se le atribuye el nombre de planta de Pitágoras a la planta en línea a la que da lugar el compás de Pitágoras, por el uso constante de este último para mutar la organización de la planta. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA11 Hipaso de Metaponto: El sucesor de Pitágoras, Hipaso de Metaponto (hacia 500 a.C. - 450 a.C.), fue el primero en demostrar la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, mediante un método de reducción al absurdo. Hipaso también se interesó por la geometría de las figuras regulares, y descubrió el quinto sólido platónico, el dodecaedro, que tiene doce caras pentagonales. “Según la leyenda, Hipaso fue asesinado por sus compañeros pitagóricos, por revelar estos secretos a los profanos.” Anaxágoras de Clazómenas: El contemporáneo de Hipaso, Anaxágoras de Clazómenas (hacia 500 a.C. - 428 a.C.), fue el primero en explicar el eclipse solar como el resultado de la interposición de la Luna entre el Sol y la Tierra. Anaxágoras también fue el primero en sugerir que la Luna refleja la luz del Sol, y que tiene montañas y valles. “Anaxágoras fue acusado de impiedad por sus ideas, y tuvo que huir de Atenas.” Arquitas de Tarento: El alumno de Anaxágoras, Arquitas de Tarento (hacia 428 a.C. - 347 a.C.), fue un destacado matemático, filósofo, inventor, estratega y político. Arquitas fue el primero en resolver el problema de la duplicación del cubo, es decir, el de hallar el lado de un cubo que tenga el doble de volumen que otro dado. Resolvió el problema mediante la construcción de una curva tridimensional, llamada la hélice de Arquitas, que se obtiene al hacer girar una línea recta alrededor de un cilindro, concretamente siendo la curva de intersección de un toro y un cilindro. Este filósofo construyó el primer modelo de un objeto volador del que se tiene constancia, llamado la paloma de Arquitas, que era una figura de madera que podía volar. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA12 Platón de Atenas: El discípulo de Arquitas, Platón de Atenas (hacia 427 a.C. - 347 a.C.), fue el más influyente filósofo de la antigüedad, y el fundador de la Academia, la primera institución de enseñanza superior del mundo occidental, de la que la Academia de Esgrima Láser se vale para concebirse como entidad dedicada al conocimiento en general, y al estudio del conflicto en particular. “Platón consideraba que las matemáticas eran el camino para acceder al conocimiento de las ideas, que son las realidades eternas e inmutables que se encuentran más allá del mundo sensible.” Platón, entre otros muchos asuntos, se interesó por la geometría de los sólidos regulares, y los relacionó con los elementos de la naturaleza: el tetraedro con el fuego, el cubo con la tierra, el octaedro con el aire, el icosaedro con el agua y el dodecaedro con el universo. Este ilustre filósofo planteó el problema de la construcción de los sólidos platónicos con regla y compás, que fue resuelto por su alumno Eudoxo de Cnido (hacia 408 a.C. - 355 a.C.). Eudoxo de Cnido: Eudoxo de Cnido fue un destacado matemático, astrónomo y geógrafo, que hizo importantes aportaciones a la geometría y a la teoría de las proporciones. Eudoxo desarrolló el método exhaustivo, que consiste en aproximar el área o el volumen de una figura curva mediante el de una figura poligonal o poliédrica, que la contiene o la circunscribe. Además, introdujo el concepto de magnitud conmensurable, es decir, aquella que se puede medir con una misma unidad, y el concepto de magnitud inconmensurable, es decir, aquella que no se puede medir con una misma unidad, como la diagonal y el lado de un cuadrado. Eudoxo formuló la teoría de las proporciones, que permite comparar magnitudes de cualquier tipo, sean conmensurables o inconmensurables, mediante el uso de razones y proporciones. Esta teoría fue recogida por Euclides en el Libro V de los Elementos, y es la base de la geometría clásica. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA13 Menecmo de Alopece: Contemporáneo a Eudoxo, Menecmo de Alopece (hacia 380 a.C. - 320 a.C.), fue un matemático y geómetra, que se especializó en el estudio de las cónicas, es decir, las curvas que se obtienen al cortar un cono circular recto por un plano. Menecmo descubrió las tres cónicas principales: la elipse, la parábola y la hipérbola, y las denominó así por la relación entre el ángulo del plano y el ángulo del cono. Menecmo también resolvió el problema clásico de la duplicación del cubo, mediante la intersección de dos parábolas, y el problema de la trisección del ángulo, mediante la intersección de una recta y una hipérbola. Teeteto de Atenas: El alumno de Menecmo, Teeteto de Atenas (hacia 369 a.C. - 369 a.C.), fue un matemático y filósofo, que se dedicó al estudio de la geometría y de la teoría de los números. “Teeteto clasificó los cinco sólidos platónicos, y demostró que no hay más.” Teeteto también clasificó los números irracionales en cuatro tipos: los que se obtienen al extraer la raíz cuadrada de un número entero, los que se obtienen al extraer la raíz cúbica de un número entero, los que se obtienen al extraer la raíz cuadrada de un número que se obtiene al extraer la raíz cúbica de un número entero, y los que se obtienen al extraer la raíz cúbica de un número que se obtiene al extraer la raíz cuadrada de un número entero. “Platón usa a Teeteto como principal interlocutor de Sócrates en sus diálogos, “El sofista” y propiamente el de “Teeteto”. Teeteto también estudió los números figurados, es decir, los que se pueden representar mediante puntos dispuestos en forma de figuras geométricas, como los números triangulares, los números cuadrados, los números pentagonales, etc. “Teeteto murió joven, a causa de una herida recibida en la batalla de Corinto.” Su obra fue recogida y ampliada por Euclides en el Libro X de los Elementos. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA14 Euclides de Alejandría: El discípulo de Teeteto, Euclides de Alejandría (hacia 325 a.C. - 265 a.C.), fue el más famoso y el más influyente matemático de la antigüedad, y el autor de la obra más importante y más difundida de la geometría, Los Elementos. Los Elementos son una colección de trece libros, que recopilan y sistematizan los conocimientos geométricos de los matemáticos anteriores, y que presentan la geometría como una ciencia deductiva, basada en la lógica y la demostración. Esta obra de Euclides parte de cinco axiomas o nociones comunes, que son principios evidentes que se aceptan sin demostración, y de cinco postulados o peticiones, que son principios que se asumen como verdaderos, que sin embargo no se pueden demostrar con los axiomas. A partir de estos principios, Euclides llega a conclusiones diversas, deduciendo numerosas proposiciones, que demuestra. “Euclides deduce más de 450 proposiciones o teoremas, que se demuestran mediante una cadena de razonamientos lógicos.” Los Elementos abarcan la geometría plana, la geometría espacial, la teoría de las proporciones, la teoría de los números y la geometría de las cónicas. Los Elementos son la obra matemática más exitosa y más influyente de la historia, que ha sido traducida, comentada, adaptada y estudiada por más de dos mil años, y que ha servido de modelo y de inspiración para otras obras de geometría y de otras disciplinas. Arquímedes de Siracusa: Arquímedes de Siracusa (hacia 287 a.C. - 212 a.C.), fue un matemático, contemporáneo de Euclides, que también alcanzó una más que notable relevancia como físico e ingeniero de la antigüedad, siendo el inventor de numerosos dispositivos y máquinas, como la palanca, la polea, el tornillo, la espiral, el espejo ardiente, etc. Arquímedes hizo importantes aportaciones a la geometría, especialmente a la geometría métrica, que se ocupa del cálculo de áreas, perímetros, volúmenes y superficies. Este matemático de Siracusa utilizó el método exhaustivo de Eudoxo para aproximar el valor de Π, que se obtiene al circunscribir e inscribir polígonos regulares en un círculo, y para calcular el área y el volumen de figuras curvas, como la elipse, la parábola, la esfera, el cilindro, el cono, etc. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA15 Arquímedes también descubrió el principio de la hidrostática, que establece que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del fluido desalojado. “Arquímedes murió asesinado por un soldado romano, durante el sitio de Siracusa, mientras estaba absorto en un problema geométrico.” Apolonio de Perga: El sucesor de Arquímedes, Apolonio de Perga (hacia 262 a.C. - 190 a.C.), fue un destacado matemático, astrónomo y geómetra, que se especializó en el estudio de las cónicas, es decir, las curvas que se obtienen al cortar un cono circular recto por un plano. Apolonio escribió una obra monumental, titulada “Sobre las cónicas”, que consta de ocho libros, de los cuales se conservan siete. En esta obra, Apolonio demostró más de 300 proposiciones sobre las propiedades y las características de las cónicas, y las aplicó a problemas de óptica, de mecánica y de astronomía. Apolonio introdujo los términos de vértice, foco, directriz, eje, lado recto, excentricidad y ordenada de una cónica, y demostró que las cónicas se pueden obtener al seccionar un cilindro o una esfera, además de un cono. Apolonio también resolvió el problema de la construcción de las cónicas con regla y compás, y el problema de la determinación de los lugares geométricos, es decir, el conjunto de puntos que cumplen una determinada condición. Apolonio es considerado el padre de la geometría analítica, que se ocupa de la representación y el estudio de las curvas mediante ecuaciones algebraicas. Eratóstenes de Cirene: El discípulo de Apolonio, Eratóstenes de Cirene (hacia 276 a.C. - 194 a.C.), fue un polímata y un sabio, que se dedicó al estudio de la geometría, la astronomía, la geografía, la historia, la literatura y la filología. Fue el director de la Biblioteca de Alejandría, el mayor centro de cultura y de saber de la antigüedad, con notable diferencia. Eratóstenes hizo importantes aportaciones a la geometría y a la geografía, como el cálculo de la circunferencia de la Tierra, que se basó en la medición de la longitud de la sombra proyectada por un gnomon o reloj de sol en dos ciudades situadas en el mismo meridiano, mas a diferente latitud. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA16 Eratóstenes también inventó el algoritmo conocido como la criba de Eratóstenes, que permite hallar los números primos menores que un número dado, mediante la eliminación sucesiva de los múltiplos de los números naturales. Eratóstenes también elaboró el primer mapa del mundo conocido, basado en la división de la Tierra en paralelos y meridianos, y en la estimación de las distancias entre los lugares más importantes. Aristarco de Samos: El contemporáneo de Eratóstenes, Aristarco de Samos (hacia 310 a.C. - 230 a.C.), fue un destacado matemático, astrónomo y geómetra, que fue el primero en proponer el modelo heliocéntrico del sistema solar, es decir, el que sitúa al Sol en el centro, y a los planetas, incluida la Tierra, girando alrededor de él. Aristarco también fue el primero en estimar las distancias y los tamaños relativos del Sol, la Luna y la Tierra, mediante la observación de los eclipses y de las fases lunares. Él utilizó la geometría para demostrar que el Sol es mucho más grande que la Tierra, y que la Tierra es mucho más grande que la Luna, y para calcular el ángulo que forman el Sol y la Luna vistos desde la Tierra, que es aproximadamente de 87 grados. Aristarco también determinó la duración del año solar, que es el tiempo que tarda la Tierra en completar una órbita alrededor del Sol, que es de unos 365 días y 6 horas. Hiparco de Nicea: El sucesor de Aristarco, Hiparco de Nicea (hacia 190 a.C. - 120 a.C.), fue el más grande astrónomo y geógrafo de la antigüedad, y el fundador de la trigonometría, que es la rama de la geometría que se ocupa del estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Hiparco compiló el primer catálogo estelar, que contiene la posición y el brillo de más de 800 estrellas, y descubrió el fenómeno de la precesión de los equinoccios, que es el cambio gradual de la orientación del eje de rotación de la Tierra, que provoca el desplazamiento de los puntos donde el Sol cruza el ecuador celeste. Hiparco también inventó el sistema de coordenadas celestes, que permite localizar los objetos astronómicos en la esfera celeste, mediante el uso de la ascensión recta, la declinación, la longitud y la latitud celestes. Además, elaboró el primer mapa del mundo basado en la proyección estereográfica, que consiste en proyectar la superficie de una esfera sobre un plano tangente a ella. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA17 Hiparco también desarrolló la trigonometría, y construyó la primera tabla de cuerdas, que es el antecedente de la tabla de senos, y que permite calcular la longitud de la cuerda que une dos puntos de una circunferencia, conocido el ángulo que forman los radios que pasan por dichos puntos. Menelao de Alejandría: El discípulo de Hiparco, Menelao de Alejandría (hacia 70 d.C. - 140 d.C.), fue un destacado matemático, astrónomo y geómetra, que se especializó en el estudio de la geometría esférica, que es la que se ocupa de las propiedades y las relaciones de los objetos que se encuentran en la superficie de una esfera. Este hombre escribió una obra titulada Sobre la esfera, que contiene seis libros, de los cuales se conservan tres. En esta obra, Menelao demostró el teorema que lleva su nombre, que establece que la suma de los cosenos de los ángulos de un triángulo esférico, multiplicados por los senos de los lados opuestos, es igual al producto de los senos de los lados del triángulo. Este teorema es el análogo esférico del teorema de Pitágoras, y permite resolver los triángulos esféricos, que son los que se forman al cortar una esfera por tres planos que pasan por su centro. Menelao también introdujo el concepto de la anamorfosis, que es la deformación de una imagen producida por una proyección geométrica, como la que se produce al proyectar la superficie de una esfera sobre un plano. Herón de Alejandría: El contemporáneo de Menelao, Herón de Alejandría (hacia 10 d.C. - 70 d.C.), fue un destacado matemático, físico e ingeniero, que se dedicó al estudio de la geometría, la mecánica, la óptica y la neumática. Herón escribió varias obras, entre las que se destacan la Métrica, que trata sobre el cálculo de áreas, perímetros, volúmenes y superficies de figuras planas y sólidas, la Geometría práctica, que trata sobre la construcción de figuras geométricas con regla y compás, la Catóptrica, que trata sobre la reflexión de la luz en los espejos, y la Neumática, que trata sobre el uso del aire y del agua para mover máquinas y dispositivos. “Herón formuló el teorema que lleva su nombre, que establece que el área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto de su semiperímetro por las diferencias entre el semiperímetro y cada uno de sus lados.” BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA18 El teorema de Herón permite calcular el área de un triángulo sin conocer sus ángulos, y se puede generalizar a otros polígonos. Herón también inventó el primer motor de vapor, llamado la eolípila, que consiste en una esfera hueca con dos tubos que salen de sus polos, y que gira al escapar el vapor de agua que se genera al calentar la esfera. Ptolomeo de Alejandría: El sucesor de Herón, Ptolomeo de Alejandría (hacia 100 d.C. - 170 d.C.), fue el más grande astrónomo y geógrafo de la antigüedad, y el autor de la obra más importante y más influyente de la astronomía, el Almagesto. El Almagesto es una obra de trece libros, que recopila y sistematiza los conocimientos astronómicos de los matemáticos anteriores, y que presenta el modelo geocéntrico del sistema solar, es decir, el que sitúa a la Tierra en el centro, y al Sol, la Luna y los planetas girando alrededor de ella en órbitas circulares y uniformes. Ptolomeo utilizó la geometría y la trigonometría para calcular las posiciones, los movimientos y los fenómenos de los cuerpos celestes, y para construir tablas y catálogos que permitían predecir los eclipses, las fases lunares, las estaciones, etc. Ptolomeo también escribió una obra de ocho libros, titulada Geografía, que contiene una descripción y una representación del mundo conocido, basada en la división de la Tierra en paralelos y meridianos, y en la estimación de las coordenadas geográficas de más de 8000 lugares. “Ptolomeo es considerado el padre de la astronomía y de la geografía, que se basan en la observación, la medición y el cálculo geométrico.” En síntesis: Estos matemáticos muestran que los griegos tenían un conocimiento profundo y riguroso de la geometría, así como una gran capacidad de abstracción, de generalización y de demostración. Los griegos desarrollaron una geometría deductiva, basada en la lógica y la demostración, que se convirtió en el modelo y el paradigma de la geometría clásica. Los griegos también aplicaron la geometría a otros campos del saber, como la astronomía, la geografía, la óptica, la mecánica y la arquitectura. La geometría griega fue la precursora de la geometría moderna, que se desarrolló a partir de los siglos XVI y XVII, con el surgimiento de la geometría analítica, la geometría no euclidiana, la geometría diferencial y la geometría fractal, entre otras ramas. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA19 Geometría en china: El origen de la geometría china se remonta al siglo III a.C., cuando se escribió el Mo Jing, que es un tratado de lógica y de matemáticas, atribuido al filósofo Mozi. El Mo Jing contiene problemas de geometría plana y espacial, como el cálculo del área de un cuadrado, de un rectángulo, de un triángulo, de un trapecio, de un círculo y de un anillo, así como el cálculo del volumen de una pirámide, de un prisma, de un cilindro y de una esfera. El Mo Jing también contiene el valor aproximado de Π, que se obtiene al multiplicar el diámetro de un círculo por 3, que es equivalente a 3. El Mo Jing también contiene el teorema de Pitágoras, que se demuestra mediante un método geométrico, y el problema de la trisección del ángulo, que se resuelve mediante la construcción de una curva llamada la cuadratriz, que se obtiene al hacer girar una línea recta alrededor de un punto fijo. El desarrollo de la geometría china se produjo entre los siglos I a.C. y III d.C., cuando se escribieron los Nueve capítulos sobre el arte matemático, que son una colección de problemas y soluciones sobre aritmética, álgebra, geometría y trigonometría. “Los Nueve capítulos se basan en la geometría práctica, que se ocupa de la medición y la construcción de figuras geométricas con regla y cuerda.” Los Nueve capítulos contienen problemas de geometría plana y espacial, como el cálculo del área de un polígono, de un sector circular, de un segmento circular y de una superficie curva, así como el cálculo del volumen de un cono, de una esfera, de un cilindro y de un toro. Los Nueve capítulos contienen una aproximación al valor de Π, que se obtiene al sumar 62832/20000, que es equivalente a 3,1416. Los Nueve capítulos también contienen el teorema del seno, que relaciona los lados y los ángulos de un triángulo cualquiera, y el teorema de la tangente, que relaciona los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. El auge de la geometría china se dio entre los siglos VII y XIII d.C., cuando se escribieron los Clásicos matemáticos, que son tratados de matemáticas y de astronomía, que se basan en la geometría teórica, que se ocupa de la demostración y la generalización de las propiedades y las relaciones de las figuras geométricas. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA20 Los Clásicos matemáticos contienen problemas de geometría plana y espacial, como el cálculo del área de un triángulo, de un cuadrilátero, de un pentágono, de un hexágono y de un polígono regular, así como el cálculo del volumen de una pirámide, de un tetraedro, de un octaedro, de un icosaedro y de un poliedro regular. Los Clásicos matemáticos también albergan el valor de Π, que se obtiene al sumar 104348/33215, que es equivalente a 3,141592. Esta obra también posee, en su interior, una versión del teorema de Herón, que establece que el área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto de su semiperímetro por las diferencias entre el semiperímetro y cada uno de sus lados, y el teorema de Brahmagupta, que establece que el área de un cuadrilátero cíclico, es decir, que se puede inscribir en una circunferencia, es igual a la raíz cuadrada del producto de las diferencias entre el semiperímetro y cada uno de sus lados. Los Clásicos matemáticos introducen el concepto de la función coseno, que se define como la razón entre el lado adyacente y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y que se utiliza para calcular las distancias y las alturas de los objetos. Estos textos muestran que los chinos tenían un conocimiento profundo y original de la geometría, así como una gran capacidad de cálculo, de aproximación y de demostración. Los chinos desarrollaron una geometría práctica, teórica y algebraica, que se convirtió en una de las más avanzadas y completas de la antigüedad. Los chinos aplicaron la geometría a otros campos del saber, como la astronomía, la geografía, la óptica, la mecánica y la arquitectura. “La geometría china fue la precursora de la geometría árabe, persa e islámica, que se desarrolló a partir del siglo IX d.C., con la traducción al árabe de las obras de los matemáticos chinos.” BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA21 Geometría en la India: El origen de la geometría india se remonta al siglo VIII a.C., cuando se compusieron los Sulba Sutras, que son textos que contienen reglas y fórmulas para la construcción de altares y sacrificios rituales. Los Sulba Sutras se basan en la geometría práctica, que se ocupa de la medición y la construcción de figuras geométricas con regla y cuerda. Estos textos contienen problemas de geometría plana y espacial, como el cálculo del área de un cuadrado, de un rectángulo, de un triángulo, de un círculo y de una elipse, así como el cálculo del volumen de una pirámide, de un prisma y de una esfera. Los Sulba Sutras contienen el valor aproximado de Π, que se obtiene al multiplicar el diámetro de un círculo por 25/8, que es equivalente a 3,125. En los Sulba Sutras se puede encontrar el teorema de Pitágoras, que se demuestra mediante un método de reducción al absurdo, y el problema de la duplicación del cubo, que se resuelve mediante la construcción de una raíz cúbica de dos, que se obtiene al dividir un segmento en siete partes iguales y tomar dos de ellas. El desarrollo de la geometría india se produjo entre los siglos III a.C. y VII d.C., cuando se escribieron los Siddhantas, que son tratados de astronomía y de matemáticas, que se basan en la geometría teórica, que se ocupa de la demostración y la generalización de las propiedades y las relaciones de las figuras geométricas. Los Siddhantas contienen problemas de geometría plana y espacial, como el cálculo del área de un polígono, de un sector circular, de un segmento circular y de una superficie curva, así como el cálculo del volumen de un cono, de una esfera, de un cilindro y de un toro. En estos textos está además el teorema del seno, que relaciona los lados y los ángulos de un triángulo cualquiera, y el teorema de la tangente, que relaciona los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los Siddhantas introducen el concepto de la función seno, que se define como la razón entre el lado opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y que se utiliza, entre otras, para calcular las posiciones y los movimientos de los cuerpos celestes. El auge de la geometría india se dio entre los siglos VII y XII d.C., cuando se escribieron los Ganita Sastras, que son tratados de matemáticas y de álgebra, que se basan en la geometría algebraica, que se ocupa de la resolución de problemas BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA22 geométricos mediante el uso de ecuaciones y de operaciones algebraicas. Los Ganita Sastras albergan problemas de geometría plana y espacial, como el cálculo del área de un triángulo, de un cuadrilátero, de un pentágono, de un hexágono y de un polígono regular, así como el cálculo del volumen de una pirámide, de un tetraedro, de un octaedro, de un icosaedro y de un poliedro regular. Estos textos albergan también una forma del teorema de Herón, que establece que el área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto de su semiperímetro por las diferencias entre el semiperímetro y cada uno de sus lados, y el teorema de Brahmagupta, que establece que el área de un cuadrilátero cíclico, es decir, que se puede inscribir en una circunferencia, es igual a la raíz cuadrada del producto de las diferencias entre el semiperímetro y cada uno de sus lados. Los Ganita Sastras, adicionalmente, introducen el concepto de la función coseno, que se define como la razón entre el lado adyacente y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y que se utiliza para calcular las distancias y las alturas de los objetos. En definitiva: “Todos estos textos muestran que los indios tenían un conocimiento profundo y original de la geometría, así como una gran capacidad de cálculo, de aproximación y de demostración.” BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA23 Geometría árabe e islámica: La geometría árabe e islámica se desarrolló a partir del siglo IX d.C., cuando se tradujeron al árabe las obras de los matemáticos griegos, indios y chinos, y se preservaron y se comentaron en las bibliotecas y las escuelas de Bagdad, Damasco, Córdoba y otras ciudades. Los matemáticos árabes, persas e islámicos hicieron importantes aportaciones a la geometría, especialmente a la geometría algebraica, que se ocupa de la resolución de problemas geométricos mediante el uso de ecuaciones y de operaciones algebraicas. Al-Khwarizmi (Al-Juarismi): Al-Khwarizmi (hacia 780 d.C. - 850 d.C.), considerado el padre del álgebra, que escribió varios libros sobre los números arábigos y sobre los métodos de resolución de ecuaciones. Su libro Sobre el cálculo con números arábigos, escrito alrededor del año 825, junto con el trabajo de Al-Kindi, fueron instrumentos para dar a conocer las matemáticas árabes y los números arábigos en Occidente. La palabra algoritmo se deriva de la latinización de su nombre, algoritmi, y la palabra álgebra del título de uno de sus trabajos, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l- muqābala (Compendio de cálculo por compleción y comparación). Al-Khwarizmi introdujo el concepto de la función seno, que se define como la razón entre el lado opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y que se utiliza para calcular las posiciones y los movimientos de los cuerpos celestes. Ibn al-Haytham (Alhacén): Ibn al-Haytham (hacia 965 d.C. - 1040 d.C.), un físico, matemático y óptico, que se dedicó al estudio de la luz y de la visión. Ibn al-Haytham escribió una obra titulada Kitab al-Manazir (Libro de la óptica), que contiene siete libros, que tratan sobre la naturaleza de la luz, la reflexión, la refracción, la formación de las imágenes, la visión, los espejos y las lentes. “Alhacén allanó el camino a la ciencia moderna de la óptica física. lo que le llevó a ser entendido como el padre de la óptica moderna, pues hizo contribuciones fundamentales a los principios de la óptica en general y la percepción visual en particular.” BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA24 Ibn al-Haytham formuló la teoría de la visión intromisiva, que establece que la visión se produce cuando los rayos de luz entran en el ojo desde los objetos externos, y no al revés, como se creía anteriormente. Ibn al-Haytham utilizó la geometría para demostrar varios fenómenos ópticos, como la ley de la reflexión, la ley de la refracción, el principio de Fermat, el principio de Huygens y el principio de mínima acción. Al-Biruni: Al-Biruni (hacia 973 d.C. - 1048 d.C.), un polímata y un erudito, que se dedicó al estudio de la geometría, la astronomía, la geografía, la historia, la medicina y la filosofía. Al-Biruni escribió varias obras sobre la geometría plana y espacial, como el cálculo del área de un triángulo, de un cuadrilátero, de un pentágono, de un hexágono y de un polígono regular, así como el cálculo del volumen de una pirámide, de un tetraedro, de un octaedro, de un icosaedro y de un poliedro regular. Al-Biruni también calculó el valor de Π con gran precisión, utilizando métodos de aproximación basados en el uso de polígonos regulares, y obtuvo el valor de 3,1416. Al-Biruni calculó también la circunferencia de la Tierra, que se basó en la medición de la longitud de la sombra proyectada por un gnomon o reloj de sol en dos ciudades situadas en el mismo meridiano, a diferente latitud. Al-Biruni elaboró el primer mapa del mundo basado en la proyección ortográfica, que consiste en proyectar la superficie de una esfera sobre un plano perpendicular a un punto de vista. Omar Khayyam: Omar Khayyam (hacia 1048 d.C. - 1131 d.C.), un poeta, astrónomo y matemático, que se especializó en el estudio de las cónicas, es decir, las curvas que se obtienen al cortar un cono circular recto por un plano. Omar Khayyam escribió un tratado sobre las cónicas, que contiene más de 100 problemas sobre las propiedades y las características de las cónicas, y las aplica a problemas de óptica, de mecánica y de astronomía. Este autor resolvió el problema de la construcción de las cónicas con regla y compás, y el problema de la determinación de los lugares geométricos, es decir, el conjunto de puntos que cumplen una determinada condición. Omar Khayyam fue el primero en clasificar y resolver las ecuaciones cúbicas, mediante la intersección de una parábola y una hipérbola o de dos parábolas. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA25 Nasir al-Din al-Tusi: Nasir al-Din al-Tusi (hacia 1201 d.C. - 1274 d.C.), un polímata y un sabio, que se dedicó al estudio de la geometría, la astronomía, la filosofía y la teología. Nasir al-Din al-Tusi escribió varias obras sobre la geometría euclidiana y la geometría no euclidiana, que se ocupa de los sistemas geométricos que no cumplen el quinto postulado de Euclides, que afirma que por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela a dicha recta. Este hombre demostró que se podían construir geometrías alternativas, en las que el quinto postulado no se cumple, y que son igualmente consistentes y válidas que la geometría euclidiana. Su invesitigación y desarrollo de la trigonometría le ponen como el primer astrónomo oriental en tener una visión clara de la trigonometría plana y esférica, tratando como disciplina única y diferenciada a la trigonometría. Nasir al-Din al-Tusi también introdujo el concepto de la función tangente, que se define como la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente de un triángulo rectángulo, y que se utiliza para calcular las distancias y las alturas de los objetos. Su desarrollo de la geometría y trigonometría se aplica directamente en la Esgrima Láser. Ejemplo de esto es la lógica en la que se basa la obra de la ceñida, que puede ser entendida gracias al “acople Tusi”, por explicar la manera en la que se compensa con la sencillez la ganancia de recta del centro de masas proyectado. Esto puede demostrarse representándose al tirador y su sencillez como la circunferencia pequeña del acople Tusi, siendo la sencillez el centro de la circunferencia pequeña, mientras se entiende el centro de masas proyectado como el punto del diámetro de esta que, a su vez, se desplaza por el diámetro de la circunferencia mayor, sobre la que rota la pequeña. La aplicación de la trigonometría a la destreza laserina se puede entender desde el análisis plano y euclídeo o desde el análisis esférico, propio del extremo de la diástasis del medio proporcional agente y paciente. Al-Kashi: Al-Kashi (hacia 1380 d.C. - 1429 d.C.), un matemático, astrónomo y geómetra, que se especializó en el estudio de las cónicas, es decir, las curvas que se obtienen al cortar un cono circular recto por un plano. Al-Kashi escribió un tratado sobre las cónicas, que contiene más de 200 problemas sobre las propiedades y las características de las cónicas, y las aplica a problemas de óptica, de mecánica y de astronomía. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA26 Al-Kashi resolvió el problema de la construcción de las cónicas con regla y compás, y el problema de la determinación de los lugares geométricos, es decir, el conjunto de puntos que cumplen una determinada condición. Al-Kashi también calculó el valor de Π con gran exactitud, utilizando métodos de aproximación basados en el uso de polígonos regulares, y obtuvo el valor de 3,1415926. Al-Kashi fué quien introdujo en su cultura el concepto de la función coseno, que se define como la razón entre el lado adyacente y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y que se utiliza para calcular las distancias y las alturas de los objetos. Con esta exposición breve, queda demostrado que los árabes, los persas y los islámicos tenían un conocimiento profundo y riguroso de la geometría, así como una sobresaliente capacidad de cálculo, de aproximación y de demostración, teniendo en cuenta su época. Estos desarrollaron una geometría algebraica, que se convirtió en una de las más avanzadas y completas de la antigüedad. Adicionalmente, estos pueblos, como otros hicieron, aplicaron también la geometría a otros campos del saber, como la astronomía, la geografía, la óptica, la mecánica y el arte. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA27 Geometría analítica: La geometría analítica es una rama de las matemáticas que estudia las figuras geométricas mediante técnicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Esta geometría tiene múltiples aplicaciones, más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones. Geometría cartesiana: La geometría cartesiana es la primera forma de geometría analítica, que se basa en el uso de un sistema de coordenadas cartesianas, que consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto llamado origen, y que permiten localizar cualquier punto del plano mediante un par de números llamados abscisa y ordenada. “Gracias a Descartes, todos podemos ser referencia sin realmente ser ejemplo de nada.” La geometría cartesiana fue creada por el filósofo y matemático francés René Descartes, que publicó su obra La geometría en 1637, como un apéndice de su Discurso del método. En dicha obra, Descartes introdujo el método de representar las curvas mediante ecuaciones algebraicas, y de resolver los problemas geométricos mediante el uso de variables y de operaciones algebraicas. Descartes también demostró el teorema fundamental de la geometría analítica, que establece que toda ecuación de grado n representa una curva de grado n, y que toda curva de grado n se puede representar mediante una ecuación de grado n. Descartes formuló la regla de los signos, que permite determinar el número de raíces positivas y negativas de una ecuación polinómica. Geometría diferencial: La geometría diferencial es una forma de geometría analítica, que se basa en el uso de las derivadas e integrales, que son conceptos del cálculo diferencial e integral, para estudiar las propiedades y las características de las curvas y las superficies. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA28 La geometría diferencial fue desarrollada por el matemático y físico alemán Carl Friedrich Gauss, que publicó su obra Disquisitiones generales circa superficies curvas en 1827, como un apéndice de su Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. Gauss introdujo el concepto de la curvatura, que mide el grado de curvatura de una curva o de una superficie, y que se define como el inverso del radio de la circunferencia o de la esfera que mejor se ajusta a la curva o a la superficie en un punto dado. Gauss también demostró el teorema egregium, que establece que la curvatura de una superficie es una propiedad intrínseca, es decir, que no depende de la forma en que se embebe la superficie en el espacio, sino que solo depende de la forma en que se mide la distancia sobre la superficie. Gauss también formuló la fórmula de Gauss-Bonnet, que relaciona la curvatura total de una superficie con el ángulo total de sus bordes. Geometría algebraica: La geometría algebraica es una forma de geometría analítica, que se basa en el uso de las estructuras algebraicas, como los anillos, los cuerpos, los ideales, los polinomios, etc., para estudiar las propiedades y las características de las variedades algebraicas, que son los conjuntos de puntos que satisfacen una o varias ecuaciones polinómicas. La geometría algebraica fue desarrollada por varios matemáticos, entre los que se destacan el matemático y físico francés Joseph-Louis Lagrange, que publicó su obra Réflexions sur la résolution algébrique des équations en 1771, en la que introdujo el concepto de la función simétrica, que es una función que no cambia de valor al permutar las variables, y que se utiliza para eliminar las variables de una ecuación polinómica; el matemático y filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, que publicó su obra Nova methodus pro maximis et minimis en 1684, en la que introdujo el concepto de la derivada, que mide la tasa de cambio de una función, y que se utiliza para hallar los puntos extremos de una curva; el matemático y físico italiano Girolamo Cardano, que publicó su obra Ars magna en 1545, en la que introdujo el concepto de la fórmula general, que permite resolver las ecuaciones polinómicas de grado 2, 3 y 4, y que se utiliza para hallar los puntos de corte de una curva; y el matemático y astrónomo francés François Viète, que publicó su obra In artem analyticem isagoge en 1591, en la que introdujo el concepto de la notación algebraica, que consiste en el uso de letras para representar las cantidades desconocidas y las operaciones entre ellas, y que se utiliza para expresar las ecuaciones de una curva. ———— GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA31 Definición de la geometría: “La geometría es el estudio de las propiedades y condiciones de las figuras en el plano o el espacio, así como su función aplicada a los distintos ámbitos.” La geometría es una de las ramas más antiguas y fundamentales de las matemáticas, que se ocupa del estudio de las formas, las medidas, las posiciones y las relaciones de los objetos en el espacio. La palabra geometría proviene del griego “γεωμετρία”, que significa “medida de la tierra”, ya que los antiguos griegos, tanto como otros pueblos de la antigüedad, la utilizaron para resolver problemas prácticos relacionados con la agricultura, la arquitectura, la astronomía y la navegación. La definición de la geometría implica varios conceptos clave que se pueden explicar de la siguiente manera: Forma: La forma es la configuración o contorno que tiene un elemento, independientemente de su tamaño o posición. Por ejemplo, un triángulo, un cuadrado, un círculo, una esfera, etc., son formas geométricas que se pueden reconocer por sus características distintivas. Medida: La medida es la magnitud o la cantidad que se puede asignar a un elemento o a sus partes, según algún criterio o unidad de referencia. Por ejemplo, la longitud, el área, el volumen, el ángulo, etc., son medidas geométricas que se pueden calcular o comparar mediante fórmulas o instrumentos. Posición: La posición es la ubicación o lugar que ocupa un objeto en el espacio, respecto a algún sistema de coordenadas o de referencia. Por ejemplo, las coordenadas cartesianas, las coordenadas polares, las coordenadas GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA32 esféricas, etc., son sistemas que permiten determinar o expresar la posición de un punto, una recta, un plano, etc., en el espacio. Relación: La relación es la conexión o dependencia que existe entre un elemento o sus partes, según algún criterio o propiedad. Por ejemplo, la congruencia, la semejanza, la simetría, la paralelidad, la perpendicularidad, etc., son relaciones geométricas que se pueden establecer o demostrar mediante axiomas, postulados o teoremas. La geometría es una disciplina que tiene una gran importancia y utilidad en la historia, la cultura y el desarrollo de la humanidad, ya que permite describir, representar, analizar y resolver una gran variedad de fenómenos y problemas que se presentan en la naturaleza, la ciencia, el arte y la vida cotidiana. La geometría, en su aplicación, puede permitir el análisis empírico de conceptos, a priori abstractos, que al ser concretados, emergen de manera que pueden ser entendidos, organizados, utilizados y conjugados. “En el contexto esgrimístico, la forma, la medida, la posición y la relación serán los elementos básicos con los que se podrán analizar la existencia, pretérita, presente o futura, de aquello que tiene lugar, dentro o fuera del asalto.” GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA33 Punto: “Un punto es una posición o una ubicación en el espacio, que no tiene tamaño ni dimensión.” Recta: Una recta es un conjunto infinito de puntos alineados en una misma dirección, que tiene una sola dimensión: la longitud. Segmento: Un segmento es una parte de una recta que está limitada por dos puntos, llamados extremos o finales. Rayo: Un rayo es una parte de una línea que tiene un punto de partida fijo, careciendo sin punto final. Plano: Un plano es un elemento geométrico que representa una superficie plana e ilimitada, que tiene dos dimensiones: la longitud y el ancho. Paralelo: Que está dispuesto de forma lineal en la misma dirección que otra cosa, sin llegar a encontrarse nunca con ella por permanecer siempre a la misma distancia. Perpendicular: Que forma ángulo recto con otra línea o con otro plano. Lado: Cada uno de los segmentos que delimitan un ángulo. Vértice: Punto donde se cortan o confluyen los lados de un ángulo. Ángulo: Región del plano limitada por dos lados consecutivos. Cateto: Lado que, junto con otro, forma el ángulo recto de un triángulo rectángulo. Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo. Diámetro: Línea recta que une dos puntos de una circunferencia, de una curva cerrada o de la superficie de una esfera pasando por su centro. Radio: Línea recta que une el centro de un círculo con cualquier punto del perímetro. Arco: Porción de la curva comprendida entre dos puntos de la circunferencia, resultante del ángulo que se forma en una circunferencia al unir dos puntos exteriores con su centro. Un arco puede ser mayor o menor, según sea mayor a una semicircunferencia o menor a esta, respectivamente. Cuerda: Segmento que va desde un punto a otro de la circunferencia, sin pasar por el centro. Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos. Se puede contar y medir su longitud y su inclinación. Altura: Recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Elementos geométricos elementales: GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA34 Mediatriz: Recta perpendicular a un lado que pasan por su punto medio. Bisectriz: Recta que divide un ángulo en dos ángulos congruentes. Mediana: Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Eje de simetría: Recta que divide la figura en dos partes iguales y opuestas. Se pueden contar y trazar. Centro de simetría: Punto que coincide con el centro de una rotación que deja la figura invariante. Se puede hallar y ubicar. Circunferencia inscrita: Una circunferencia inscrita es aquella que, siendo interior a un polígono regular, es tangente a todos los lados de este. Circunferencia circunscritas: Una circunferencia circunscrita es aquella que, siendo exterior a un polígono, pasa por todos los vértices de este. Tangente: Línea o superficie que se toca con otra figura en un único punto, sin cortarse o atravesarse entre ellas. Secante: Recta que corta una curva por dos puntos. Recíproco del coseno, razón de la hipotenusa entre el lado adyacente al ángulo dado en un triángulo rectángulo. Perímetro: Longitud total del contorno de una figura geométrica. El perímetro se mide en unidades de una sola dimensión, como metros, centímetros o pulgadas. Área: Superficie acotada, que se distingue de lo que la rodea. El área se mide en unidades cuadradas, como metros cuadrados, centímetros cuadrados o pulgadas cuadradas. Ortocentro: Punto de intersección de las alturas de una figura geométrica. Baricentro: Punto de intersección de las medianas de una figura geométrica. El baricentro se suele representar con la letra G. El baricentro tiene la propiedad de que su distancia a cada vértice es el doble que su distancia al lado opuesto. Es decir, si dividimos cada mediana en dos partes, la parte que va del vértice al baricentro mide 2/3 de la mediana, y la parte que va del baricentro al lado opuesto mide 1/3 de la mediana. Incentro: Punto donde se cortan las bisectrices de los ángulos internos de una figura geométrica. El incentro se suele representar con la letra I. El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en la figura, que es tangente a los lados. El incentro tiene la propiedad de que su distancia a cada lado es igual al radio de la circunferencia inscrita. Circuncentro: Punto donde se cortan las tres mediatrices de los lados de una figura geométrica. El circuncentro se suele representar con la letra O. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, que es la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA35 Postulados generales de la geometría: Los postulados generales de la geometría son afirmaciones que se consideran verdaderas sin necesidad de demostración y que sirven como base para construir teoremas y definiciones. Existen diferentes tipos de postulados según el tipo de geometría que se estudie, sin embargo, no cabe duda de que los más conocidos y elementales son los postulados de Euclides, que fundaron la geometría euclidiana. Postulados generales de la geometría: Primer postulado general de la geometría: Se puede trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto. Segundo postulado general de la geometría: Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta. Tercer postulado general de la geometría: Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera. Cuarto postulado general de la geometría: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. Quinto postulado general de la geometría: Si una recta al cortar a otras dos rectas forma ángulos interiores del mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortan del lado en que están los ángulos menores que dos rectos. Estos postulados son los que se usan en la geometría clásica, que estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos en el plano y en el espacio. Sin embargo, existen otras geometrías que modifican o añaden otros postulados, como la geometría no euclidiana, la geometría absoluta o la geometría proyectiva. GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA36 Primer postulado general de la geometría: “El primer postulado general de la geometría dicta que se puede trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto.” El primer postulado significa que dados dos puntos distintos, siempre existe una única línea recta que los une y que pasa por ellos. Esta línea recta se llama segmento de recta y tiene una longitud determinada por la distancia entre los dos puntos. El primer postulado de la geometría es una afirmación que se considera verdadera sin necesidad de demostración y que sirve como base para construir otros conceptos y propiedades geométricas. Por ejemplo, usando el primer postulado se puede definir el concepto de ángulo como la abertura formada por dos segmentos de recta que tienen un punto en común. También se puede demostrar que la suma de las longitudes de dos segmentos de recta es mayor que la longitud del segmento de recta que los une. El primer postulado de la geometría es uno de los más simples y fundamentales de la geometría euclidiana, que es la que estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos en el plano y en el espacio. Segundo postulado general de la geometría: “El segundo postulado general de la geometría dicta que un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.” Esto significa que dado un segmento de recta, siempre se puede continuar trazando una línea recta que pase por los dos extremos del segmento y que no cambie de dirección. Esta línea recta se llama prolongación o extensión del segmento y tiene una longitud infinita. El segundo postulado de la geometría es una afirmación que se considera verdadera sin necesidad de demostración y que sirve como base para construir otros conceptos y propiedades geométricas.