Guía Elemental de la Geometría

Por ejemplo, usando el segundo postulado se puede definir el concepto de paralelismo como la relación entre dos líneas rectas que no se cortan nunca, aunque se prolonguen indefinidamente. También se puede demostrar que dos ángulos opuestos por el vértice son iguales cuando dos líneas rectas se cortan. El segundo postulado de la geometría es uno de los más importantes y básicos de la geometría euclidiana, que es la que estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA37 geométricos en el plano y en el espacio. Sin embargo, existen otras geometrías que no usan el segundo postulado o que lo modifican, como la geometría elíptica o la geometría afín. Tercer postulado general de la geometría: “El tercer postulado general de la geometría dicta que se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.” Esto significa que dado un punto y una distancia, siempre existe una curva cerrada y plana que tiene todos sus puntos a la misma distancia del punto dado. Esta curva se llama circunferencia y el punto dado se llama centro. La distancia entre el centro y cualquier punto de la circunferencia se llama radio. El tercer postulado de la geometría es una afirmación que se considera verdadera sin necesidad de demostración y que sirve como base para construir otros conceptos y propiedades geométricas. Por ejemplo, usando el tercer postulado se puede definir el concepto de ángulo central como el ángulo formado por dos radios de una circunferencia que tienen el mismo vértice en el centro. También se puede demostrar que la longitud de una circunferencia es igual a dos veces el producto del radio por el número pi. El tercer postulado de la geometría es uno de los más simples y fundamentales de la geometría euclidiana, que es la que estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos en el plano y en el espacio. Sin embargo, existen otras geometrías que no usan el tercer postulado o que lo modifican, como la geometría hiperbólica o la geometría esférica. Cuarto postulado general de la geometría: “El cuarto postulado general de la geometría dice que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.” Esto significa que dado un ángulo que tiene dos lados perpendiculares, es decir, que forman un ángulo de 90 grados, siempre se puede comparar con otro ángulo que tenga las mismas características y se encontrará que tienen la misma medida. El cuarto postulado de la geometría es una afirmación que se considera verdadera sin necesidad de demostración y que sirve como base para construir otros conceptos y propiedades geométricas. Por ejemplo, usando el cuarto postulado se puede definir el GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA38 concepto de ángulo complementario como el ángulo que se forma al restar un ángulo recto de otro ángulo cualquiera. También se puede demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo es igual a 180 grados. El cuarto postulado de la geometría es uno de los más simples y fundamentales de la geometría euclidiana, que es la que estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos en el plano y en el espacio. Sin embargo, existen otras geometrías que no usan el cuarto postulado o que lo modifican, como la geometría hiperbólica o la geometría esférica. Quinto postulado general de la geometría: “El quinto postulado general de la geometría dice que, si una recta al cortar a otras dos rectas forma ángulos interiores del mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortan del lado en que están los ángulos menores que dos rectos.” Esto significa que dado un haz de tres rectas que se cortan en un punto, si los ángulos que se forman entre una de las rectas y las otras dos son menores que 180 grados, entonces las otras dos rectas se cortarán en algún punto si se prolongan lo suficiente. Este punto de corte se llama punto de fuga y la recta que lo une con el punto de corte inicial se llama recta de fuga. El quinto postulado de la geometría es una afirmación que se considera verdadera sin necesidad de demostración y que sirve como base para construir otros conceptos y propiedades geométricas. Por ejemplo, usando el quinto postulado se puede definir el concepto de paralelismo como la relación entre dos líneas rectas que no se cortan nunca, aunque se prolonguen indefinidamente. También se puede demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 grados. El quinto postulado de la geometría es uno de los más complejos y controvertidos de la geometría euclidiana, que es la que estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos en el plano y en el espacio. Durante siglos, muchos matemáticos intentaron demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro, sin éxito. Finalmente, se descubrió que existen otras geometrías que no usan el quinto postulado o que lo modifican, como la geometría hiperbólica o la geometría elíptica. Estas geometrías se llaman geometrías no euclidianas y tienen propiedades muy diferentes a las de la geometría euclidiana. GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA39 Clasificación de la geometría: La clasificación de la geometría depende de diferentes criterios, pues la geometría es una rama notablemente amplia y diversa de las matemáticas, que abarca muchos aspectos, conceptos y aplicaciones. Por ende, no existe una única forma de clasificar la geometría, sino que se pueden usar distintos criterios según el enfoque, el propósito o el interés que se tenga. Por ejemplo, se puede clasificar la geometría según el número de dimensiones para estudiar las propiedades de las figuras planas o espaciales, según el tipo de postulados para analizar las consecuencias lógicas de diferentes axiomas, según el objeto de estudio para explorar las características de las curvas, las superficies o las variedades, o según el método de representación para resolver problemas geométricos usando proyecciones, álgebra o algoritmos. Cada una de estas clasificaciones tiene su propia historia, desarrollo y aplicaciones, y refleja la riqueza y la complejidad de la geometría. Clasificación de la geometría según el número de dimensiones: - Geometría plana: Aquella geometría que se proyecta en dos dimensiones. - Geometría espacial: Aquella geometría que se proyecta en tres o más dimensiones. Clasificación de la geometría según el tipo de postulados: - Geometría euclidiana: Aquella geometría basada en los cinco postulados de Euclides. - Geometría no euclidiana: Aquella geometría que modifica el quinto postulado de Euclides. - Geometría absoluta: Aquella geometría que solo usa los primeros cuatro postulados. - Geometría proyectiva: Aquella geometría que agrega un postulado sobre puntos en el infinito. GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA40 Clasificación de la geometría según el objeto de estudio: - Geometría clásica: Aquella geometría que estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos. - Geometría de curvas y superficies: Aquella geometría que estudia las propiedades de las curvas y las superficies en el espacio. - Geometría diferencial: Aquella geometría que estudia las propiedades de las variedades diferenciables. Clasificación de la geometría según el método de representación: - Geometría descriptiva: Aquella geometría que usa sistemas de proyección para representar gráficamente los problemas del espacio. - Geometría analítica: Aquella geometría que usa el álgebra y el cálculo para resolver problemas geométricos. - Geometría fractal: Aquella geometría que usa algoritmos recursivos para generar figuras con autosimilitud. ———— GEOMETRÍA EUCLIDIANA GEOMETRÍA EUCLIDIANA43 Propiedades de existencia: “Las propiedades de existencia son axiomas que afirman que existe un único elemento geométrico que cumple ciertas condiciones.” Las propiedades de existencia son importantes porque permiten construir y definir otros elementos geométricos a partir de los puntos, las rectas y los planos. También permiten establecer relaciones entre los elementos geométricos y resolver problemas geométricos. Estas propiedades de existencia se consideran verdaderas sin necesidad de demostración y se llaman axiomas o postulados de la geometría. Primera propiedad de existencia: Dos puntos determinan una única recta que pasa por ellos. Segunda propiedad de existencia: Una recta y un punto fuera de ella determinan un único plano que los contiene. Tercera propiedad de existencia: Tres puntos no alineados determinan un único plano que pasa por ellos. Cuarta propiedad de existencia: Dos rectas distintas que se cortan determinan un único plano que las contiene. Quinta propiedad de existencia: Dos planos distintos que se cortan determinan una única recta que pasa por ellos. Sexta propiedad de existencia: Un punto y una recta no paralela a un plano determinan un único plano que los contiene. Séptima propiedad de existencia: Un punto y un plano no paralelo a una recta determinan una única recta que los contiene. Octava propiedad de existencia: Dos rectas paralelas y una transversal determinan un único par de rectas paralelas en cualquier plano que las contenga. Novena propiedad de existencia: Dos planos paralelos y una recta transversal determinan un único par de rectas paralelas en cualquier plano que los contenga. GEOMETRÍA EUCLIDIANA44 Propiedades de congruencia: “Las propiedades de congruencia son axiomas que afirman que dos o más elementos geométricos tienen la misma medida o la misma forma.” Estas propiedades de congruencia son importantes porque permiten comparar y clasificar los elementos geométricos según sus características y resolver problemas geométricos. Estas propiedades de congruencia se pueden demostrar a partir de las propiedades de existencia y de otros teoremas de la geometría. Primera propiedad de congruencia: Si dos rectas son paralelas y una tercera recta las corta, entonces los ángulos alternos internos son iguales y los ángulos correspondientes son iguales. Segunda propiedad de congruencia: Si dos rectas son perpendiculares, entonces forman cuatro ángulos rectos iguales entre sí. Tercera propiedad de congruencia: Si dos planos son paralelos y una recta los corta, entonces la recta es paralela a las intersecciones de los planos con cualquier otro plano que pase por ella. Cuarta propiedad de congruencia: Si dos planos son perpendiculares, entonces cualquier recta que pertenezca a uno de ellos es perpendicular al otro. Quinta propiedad de congruencia: Si dos ángulos son iguales y los lados que los forman son proporcionales, entonces los triángulos que los contienen son semejantes. Sexta propiedad de congruencia: Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo comprendido iguales, entonces son congruentes. Séptima propiedad de congruencia: Si dos triángulos tienen un lado y los dos ángulos adyacentes iguales, entonces son congruentes. Octava propiedad de congruencia: Si dos triángulos tienen tres lados iguales, entonces son congruentes. GEOMETRÍA EUCLIDIANA45 Punto: “Un punto es una posición o una ubicación en el espacio, que no tiene tamaño ni dimensión.” Un punto es un elemento geométrico que representa una posición o una ubicación en el espacio, sin tener ninguna extensión o dimensión. Es decir, un punto no tiene longitud, anchura, altura, área, volumen ni otro atributo dimensional. Un punto es la unidad más simple e irreductible de la comunicación visual, y se puede usar para marcar el extremo de un segmento, el vértice de un ángulo, el centro de una circunferencia o cualquier otro lugar de interés. Esto se representa gráficamente por un pequeño círculo, una pequeña cruz o cualquier otra figura que indique su posición, y se nombra con una letra mayúscula. Por ejemplo, el punto A. Un punto no tiene partes ni límites, y se puede considerar como un conjunto formado por un solo elemento. “Existen infinitos puntos en el espacio y por un punto pasan potencialmente infinitas rectas.” Desde el punto de vista matemático, un punto se puede definir mediante un sistema de coordenadas que establece una relación entre los puntos y los números. Por ejemplo, en el plano cartesiano, un punto se define por medio de una pareja ordenada de números reales (x, y) que indica la distancia horizontal y vertical del punto respecto al origen. En el espacio tridimensional, un punto se define por medio de una terna ordenada de números reales (x, y, z) que indica la distancia del punto respecto a los tres ejes coordenados. Estos sistemas de coordenadas permiten representar y operar con los puntos de forma algebraica y analítica. En el contexto del análisis geométrico del asalto, serán muchos los puntos que existirán, concreta y mayoritariamente, representando localizaciones concretas de las anatomías de los tiradores. Ejemplo de ello será el centro de masas proyectado, que será un punto. Dicho punto quedará siempre proyectado en el plano inferior, sujeto a su bidimensionalidad, representando al centro de masas, que a su vez, será otro punto que estará en un entorno tridimensional. El eje de la sencillez también será ejemplo de un punto localizado en el espacio tridimensional. “En el asalto existirán diversos puntos, unos proyectados en planos bidimensionales y otros en espacios tridimensionales.” GEOMETRÍA EUCLIDIANA46 Recta: “Una recta es un conjunto infinito de puntos alineados en una misma dirección, que tiene una sola dimensión: la longitud.” Una recta es un elemento geométrico que representa una sucesión infinita e ininterrumpida de puntos que se extienden en una misma dirección, sin presentar curvas ni ángulos. Es decir, una recta no tiene anchura ni grosor, solo longitud. Una recta es la unidad más simple e irreductible de la comunicación visual, y se puede usar para medir distancias, trazar ángulos o definir paralelismo y perpendicularidad. Una recta se representa gráficamente por una línea con dos flechas en los extremos y se nombra con una letra minúscula o con dos puntos que pertenecen a ella. Por ejemplo, la recta r o la recta AB. Una recta no tiene principio ni fin, y se puede considerar como un conjunto formado por infinitos elementos. “Existen infinitas rectas en el espacio y por una recta pasan infinitos planos.” Desde el punto de vista matemático, una recta se puede definir mediante una ecuación algebraica de primer grado que relaciona las coordenadas de los puntos que la componen. Por ejemplo, en el plano cartesiano, una recta se define por medio de una ecuación de la forma y = mx + b, donde y es la coordenada en el eje vertical, x es la coordenada en el eje horizontal, m es la pendiente o inclinación de la recta y b es la ordenada al origen o el punto en el que la recta corta al eje vertical. En el espacio tridimensional, una recta se define por medio de un sistema de dos ecuaciones paramétricas de la forma x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct, donde (x0, y0, z0) es un punto que pertenece a la recta, (a, b, c) es un vector director de la recta y t es un parámetro real. Estos sistemas de ecuaciones permiten representar y operar con las rectas de forma algebraica y analítica. En el análisis del asalto, existirán diversas rectas y todas ellas unirán dos puntos. Un ejemplo de recta es la línea de los hombros, que será una recta que pasa por ambos hombros de un sujeto. GEOMETRÍA EUCLIDIANA47 Segmento: “Un segmento es una parte de una recta que está limitada por dos puntos, llamados extremos o finales.” Toda recta podrá ser limitada por dos puntos, que se llamarán extremos, dando lugar a un segmento. Un segmento se puede representar con una letra mayúscula, como AB, o con una línea sobre las letras de los extremos, como AB. Hay diferentes tipos de segmentos, según su posición o su relación con otros segmentos: Segmentos consecutivos: son aquellos que comparten un extremo, como AB y BC. Segmentos colineales, alineados o adyacentes: son aquellos que están en la misma recta, como AB y BC. Segmentos no colineales: son aquellos que no están en la misma recta, como AB y CD. Segmento nulo: es aquel que tiene el mismo punto como inicio y final, como AA. También se pueden hacer operaciones con segmentos, como suma y resta. La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene como inicio el origen del primer segmento y como final el final del segundo segmento. Por ejemplo, la suma de AB y BC es AC. La resta de dos segmentos es otro segmento que tiene como inicio el origen del segmento de menor longitud y como final el mismo final que el segmento de mayor longitud. Por ejemplo, la resta de AC y AB es BC. Sin embargo, los segmentos tendrán una mayor utilidad para el análisis, dado que no solo marcarán una dirección, sino que aportarán información sobre la extensión gracias a sus extremos. Ejemplo de esto podrá ser el segmento de planta, que es la recta que va del cimiento de planta hábil al no hábil, perteneciendo enteramente a un único sujeto. Otro ejemplo de segmento de recta será el diámetro común de los tiradores, siendo la recta que une el centro de masas proyectado de agente y paciente. Igualmente se puede hacer mención al diámetro común de la sencillez, que unirá dos puntos, siendo estos la sencillez agente y del paciente. “En el asalto, las rectas y los segmentos serán fundamentales para el análisis de los medios.” GEOMETRÍA EUCLIDIANA48 Rayo: “Un rayo es una parte de una línea que tiene un punto de partida fijo, careciendo de punto final.” Se puede pensar en un rayo como un segmento de línea que tiene un punto de inicio, y que sin embargo, no tiene fin. El punto de inicio se llama origen del rayo y la dirección en la que se extiende se llama dirección del rayo. Un rayo se puede representar con una letra minúscula, como r, o con dos letras mayúsculas que indican el origen y otro punto por el que pasa el rayo, como AB, con una flecha sobre las letras, como AB. La longitud de un rayo no se puede medir, porque es infinita. Hay diferentes tipos de rayos, según su posición o su relación con otros rayos: Rayos opuestos: son aquellos que comparten el mismo origen, que tienen direcciones contrarias, como AB y AC. Rayos perpendiculares: son aquellos que forman un ángulo recto entre sí, como AB y AD. Rayos paralelos: son aquellos que tienen la misma dirección, que no comparten ningún punto, como AB y CD. También se pueden hacer operaciones con rayos, como suma y resta. La suma de dos rayos es otro rayo que tiene como origen el punto medio entre los orígenes de los rayos sumados y como dirección la resultante de las direcciones de los rayos sumados. Por ejemplo, la suma de AB y CD es EF, donde E es el punto medio entre A y C, y F es el punto que se obtiene al sumar las coordenadas de B y D. La resta de dos rayos es otro rayo que tiene como origen el punto medio entre los orígenes de los rayos restados y como dirección la resultante de restar las direcciones de los rayos restados. Por ejemplo, la resta de AB y CD es GH, donde G es el punto medio entre A y C, y H es el punto que se obtiene al restar las coordenadas de B y D. GEOMETRÍA EUCLIDIANA49 Plano: “Un plano es un elemento geométrico que representa una superficie plana e ilimitada, que tiene dos dimensiones: la longitud y el ancho.” El plano se representa por un paralelogramo con cuatro flechas en los vértices y se nombra con una letra del alfabeto griego o con tres puntos que no estén alineados en él. Por ejemplo, el plano α o el plano ABC. Un plano bidimensional no tiene grosor ni borde, lo que quiere decir que nada puede estar posicionado más que en dos ejes, por ejemplo altura y anchura. De la misma manera, el plano no podrá tener bordes de ningún tipo, pues eso le adjudicaría una tercera dimensión en la que el borde existiría. “Un plano no tiene grosor ni borde, solo área.” Un plano es la unidad bidimensional más simple e irreductible de la comunicación visual, y se puede usar para representar figuras geométricas, calcular áreas o establecer posiciones relativas. “Existen infinitos planos en el espacio y dos planos se cortan en una recta.” Un plano se representa gráficamente por un paralelogramo con cuatro flechas en los vértices y se nombra con una letra del alfabeto griego o con tres puntos que no estén alineados en él. Por ejemplo, el plano α o el plano ABC. “Un plano no tiene principio ni fin, y se puede considerar como un conjunto formado por infinitos elementos.” Desde el punto de vista matemático, un plano se puede definir mediante una ecuación algebraica de primer grado que relaciona las coordenadas de los puntos que lo componen. Por ejemplo, en el espacio tridimensional, un plano se define por medio de una ecuación de la forma ax + by + cz + d = 0, donde a, b, c y d son constantes reales y x, y, z son las coordenadas de cualquier punto del plano. Esta ecuación se llama ecuación general o implícita del plano y permite representar y operar con los planos de forma algebraica y analítica. GEOMETRÍA EUCLIDIANA50 En el asalto, según el estudio de este desde la destreza laserina, existen diversos planos que emergen de la extensión de puntos, añadiendo a estos otras dos referencias adimensionales o una referencia unidimensional. Un ejemplo de ello será el plano del ítalo, que es un plano que parte de la sencillez del agente, quedando siempre paralelo al plano inferior. GEOMETRÍA EUCLIDIANA51 Ángulos: “Un ángulo es una figura geométrica que se forma cuando dos líneas o semirrectas se cortan o se unen en un punto.” El ángulo se compone de tres elementos principales, el primero de ellos es el punto donde se encuentran las líneas, que se llama vértice del ángulo, y las líneas que se cruzan que se llaman lados del ángulo. Adicionalmente, existe un elemento adicional: la bisectriz, que será una recta que dividirá al ángulo en dos ángulos iguales, quedando dicha línea con el mismo ángulo respecto a cada uno de los lados del ángulo original. La medida de un ángulo indica el grado de abertura entre sus lados y se expresa en unidades como grados, radianes o vueltas. Tipos de ángulos: Los ángulos se pueden clasificar según diferentes criterios, como su medida, su posición o su relación con otros ángulos. Algunos tipos de ángulos son: Ángulos según su medida: Ángulo nulo: es el que mide 0º y no tiene abertura. Se forma cuando los lados del ángulo son la misma línea. Ángulo agudo: es el que mide entre 0º y 90º. Se forma cuando los lados del ángulo se abren poco. Ángulo recto: es el que mide 90º. Se forma cuando los lados del ángulo son perpendiculares entre sí. Ángulo obtuso: es el que mide entre 90º y 180º. Se forma cuando los lados del ángulo se abren más de lo que lo hace un ángulo recto. Ángulo llano: es el que mide 180º. Se forma cuando los lados del ángulo son opuestos entre sí. Ángulo cóncavo: es el que mide entre 180º y 360º. Se forma cuando los lados del ángulo se abren más de lo que lo hace un ángulo llano. Ángulo completo: es el que mide 360º. Se forma cuando los lados del ángulo coinciden después de dar una vuelta completa. GEOMETRÍA EUCLIDIANA52 Ángulos según su posición: Ángulos consecutivos: son los que comparten el vértice y uno de los lados. Ángulos adyacentes: son los que son consecutivos y además suman 180º. Se forma cuando los lados que no comparten son opuestos entre sí. Ángulos opuestos por el vértice: son los que comparten el vértice, que no los lados. Se forma cuando dos rectas se cortan. Son iguales entre sí. Ángulos según su relación con otros ángulos: Ángulos complementarios: son los que suman 90º. Se forma cuando un ángulo es el complemento del otro, es decir, lo que le falta para ser un ángulo recto. Ángulos suplementarios: son los que suman 180º. Se forma cuando un ángulo es el suplemento del otro, es decir, lo que le falta para ser un ángulo llano. Ángulos conjugados: son los que suman 360º. Se forma cuando un ángulo es el conjugado del otro, es decir, lo que le falta para ser un ángulo completo. Los ángulos poseen una importancia crucial, pues nos permiten describir y analizar las formas y las propiedades de las figuras geométricas, así como resolver problemas de geometría, trigonometría, física, astronomía y otras disciplinas. Los ángulos también se usan en el lenguaje coloquial para expresar ideas como la perspectiva, el punto de vista, la dirección, la inclinación, la actitud o el enfoque de algo o alguien. “En la esgrima, sea cual sea la naturaleza de esta, los ángulos y su comprensión son fundamentales, pues con ello se entienden las interacciones de los elementos en el medio.” GEOMETRÍA EUCLIDIANA53 Triángulos: “Un triángulo es una figura geométrica formada por tres segmentos que se cortan en tres puntos no alineados llamados vértices.” Explicado de una manera geométricamente precisa, un triángulo es un polígono convexo de tres lados, que se obtiene al intersecar tres semirrectas que parten de tres puntos no colineales. Los triángulos se pueden clasificar según la proporcionalidad de sus lados o la amplitud de sus ángulos internos: Según la proporcionalidad de sus lados, los triángulos pueden ser: Triángulo equilátero: si los tres lados son congruentes entre sí. Triángulo isósceles: si dos lados son congruentes y el otro no. Triángulo escaleno: si los tres lados son incongruentes entre sí. Según la amplitud de sus ángulos internos, los triángulos pueden ser: Triángulo rectángulo: si el ángulo vértice es recto (90º). En este caso, la base es la hipotenusa y los lados congruentes son los catetos. El circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa y el incentro es el punto de tangencia de la circunferencia inscrita con la hipotenusa. Triángulo obtusángulos: si el ángulo vértice es obtuso (mayor de 90º). En este caso, el circuncentro y el ortocentro son exteriores al triángulo y el incentro y el baricentro son interiores. Triángulo acutángulos: si el ángulo vértice es agudo (menor de 90º). En este caso, el circuncentro, el ortocentro, el incentro y el baricentro son interiores al triángulo. GEOMETRÍA EUCLIDIANA54 En el contexto del asalto, existirán distintas referencias posibles, y de todas ellas podrán emerger triángulos, tan solo uniendo tres puntos. Todo triángulo que se genere de esta manera será considerado como triángulo natural. Este triángulo natural habrá de ser subdividido en triángulos rectángulos para poder generar un análisis formal de aquello en lo que intervenga, pues sobre los rectángulos podrán hacerse cálculos más precisos y funcionales. Triángulo natural: Triángulo que se forma por la unión de tres puntos, tenidos en cuenta de entre las referencias posibles de un asalto, que no cumple ninguna forma concreta más que la existencia de tres lados. Estos triángulos naturales habrán de ser subdivididos en triángulos rectángulos para realizar un análisis formal de lo acontecido. Un ejemplo de triángulo natura será el triángulo generado en una triangulación sobre el plano inferior, por el compás de un tirador, que tendrá como referencias el centro de masas proyectado original, el centro de masas proyectado final y el centro de masas proyectado del paciente. Este triángulo natural podrá tener distintas formas, siendo siempre necesario que exista una desviación de recta que dará lugar a un corte de recta, lo que subdivida al triángulo natural en dos triángulos rectángulos, sobre los que hacer cálculos con precisión. Triángulo equilátero: “Un triángulo equilátero es un triángulo que tiene sus lados iguales.” Los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, los tres ángulos internos son iguales y miden 60°. Algunas características y propiedades técnicas de los triángulos equiláteros son: El triángulo equilátero tiene 3 ejes de simetría, cada uno pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Cada altura, mediana, bisectriz, mediatriz y eje de simetría de un triángulo equilátero coinciden sobre una misma recta. Por tanto el ortocentro, el baricentro, el incentro y el circuncentro coinciden en un mismo punto central. El triángulo equilátero tiene un grupo de movimientos de orden 6, formado por tres rotaciones y tres reflexiones. GEOMETRÍA EUCLIDIANA55 Propiedades de los triángulos equiláteros: - Dos triángulos equiláteros cualesquiera son siempre semejantes y congruentes. - Los ángulos exteriores de un triángulo equilátero son de 120°. - El perímetro de un triángulo equilátero es 3a, donde a es la longitud del lado. - La altura de un triángulo equilátero es a√3/2, donde a es la longitud del lado. - La apotema de un triángulo equilátero es a√3/6, donde a es la longitud del lado. - El radio de la circunferencia circunscrita es a√3/3, donde a es la longitud del lado. - El radio de la circunferencia inscrita es a√3/6, donde a es la longitud del lado. - El radio de la circunferencia exinscrita es a√3/2, donde a es la longitud del lado. - El área de un triángulo equilátero es a^2√3/4, donde a es la longitud del lado. - El semiperímetro de un triángulo equilátero es 2R + (3√3 - 4)r, donde R es el radio de la circunferencia circunscrita y r es el radio de la circunferencia inscrita. Un ejemplo de triángulo equilátero, dentro de la geometría del asalto, tenderá a ser la configuración de la rectitud cuando esta quede relajada, teniendo en cuenta a un tirador de anatomía regular. La rectitud quedará con la misma extensión en el segmento de esta, el segmento cúbito-radial y el segmento humeral. GEOMETRÍA EUCLIDIANA56 Triángulo isósceles: “Un triángulo isósceles es un triángulo que tiene dos lados de igual longitud.” Un triángulo isósceles es un polígono convexo de tres lados, que se obtiene al intersecar tres semirrectas que parten de tres puntos no colineales, de tal forma que dos de los lados son congruentes entre sí. El lado incongruente se llama base y los ángulos opuestos a los lados congruentes se llaman ángulos de la base. El ángulo formado por los lados congruentes se llama ángulo vértice. El punto medio de la base se llama centro de la base. La altura, la mediana, la bisectriz y la mediatriz referidas a la base coinciden en una misma recta, que se llama eje de simetría del triángulo. El punto de intersección de esta recta con la base se llama ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro del triángulo, respectivamente. Propiedades de los triángulos isósceles: - Los ángulos de la base son congruentes entre sí. - La suma de los ángulos internos es 180º. - La suma de los ángulos externos es 360º. - El perímetro es P = 2a + b, donde a es la longitud de los lados congruentes y b es la longitud de la base. - El área es A = bh/2, donde b es la longitud de la base y h es la altura. - La altura es h = a√(1 - b2/4a2), donde a es la longitud de los lados congruentes y b es la longitud de la base. - El radio de la circunferencia circunscrita es R = a^2/2h, donde a es la longitud de los lados congruentes y h es la altura. - El radio de la circunferencia inscrita es r = h/2, donde h es la altura. Un ejemplo posible de un triángulo isósceles, en la geometría del asalto; concretamente en la geometría raíz, es el triángulo generado por los diámetros raíz de un tirador orientado a su opositor, y su segmento de planta, cuando esta quede infinita. GEOMETRÍA EUCLIDIANA57 Triángulo escaleno: “Un triángulo escaleno es un triángulo en el cual los tres lados tienen longitudes diferentes.” Un triángulo escaleno es un polígono convexo de tres lados, que se obtiene al intersecar tres semirrectas que parten de tres puntos no colineales, de tal forma que los tres lados son incongruentes entre sí. Esto significa que ninguno de sus lados o ángulos tiene la misma medida. Los triángulos escalenos son considerados polígonos irregulares. Propiedades de los triángulos escalenos: - La suma de los ángulos internos es 180º. - La suma de los ángulos externos es 360º. - La suma de las medidas de dos lados siempre debe ser mayor que la medida del tercer lado, es decir, a + b > c, b + c > a, c + a > b, donde a, b y c son las longitudes de los lados. - El perímetro es P = a + b + c, donde a, b y c son las longitudes de los lados. - El área se puede calcular usando la fórmula de Herón: A = √(s(s - a)(s - b)(s - c)), donde s es el semiperímetro, es decir, s = (a + b + c) / 2. - El radio de la circunferencia circunscrita se puede hallar usando la fórmula: R = abc / 4A, donde a, b y c son las longitudes de los lados y A es el área. - El radio de la circunferencia inscrita se puede hallar usando la fórmula: r = A / s, donde A es el área y s es el semiperímetro. GEOMETRÍA EUCLIDIANA58 Obtención del área de un triángulo: Para hallar el área de un triángulo, existen diferentes métodos, dependiendo de la información que se tenga sobre dicha figura. - Si se conoce la base y la altura del triángulo, se puede usar la fórmula: Área = (base x altura) / 2. Esta fórmula se aplica a cualquier tipo de triángulo. - Si se conocen los tres lados del triángulo, se puede usar la fórmula de Herón: Área = √(s(s - a)(s - b) (s - c)), donde s es el semiperímetro, es decir, s = (a + b + c) / 2, y a, b y c son las longitudes de los lados. - Si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos del triángulo, se puede usar la fórmula: Área = (a x b x sen C) / 2, donde a y b son las longitudes de los lados y C es el ángulo entre ellos. - Si se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos del triángulo, se puede usar la fórmula: Área = (a^2 x sen B x sen C) / (2 x sen (B + C)), donde a es la longitud del lado opuesto al ángulo A, B y C son los ángulos dados y A es el ángulo opuesto al lado a. Entre otros muchos ejemplos de un triángulo escaleno hallado en la geometría del asalto, será el triángulo raíz, que será ese triángulo natural que existe entre los cimientos de planta de un tirador y el centro de masas de su opositor, con lados en los diámetros raíz y el segmento de planta. Esto será así pues la planta de un tirador tenderá a no quedar infinita, sino que quedará transversal o en línea, lo que dará lugar a que exista un triángulo con todos sus lados diferentes. Triángulo raíz: “Triángulo hipotético formado por los diámetros raíz y el segmento de la planta.” GEOMETRÍA EUCLIDIANA59 Cuadriláteros: “Un cuadrilátero es una figura geométrica formada por cuatro lados y cuatro ángulos.” Explicado de una manera geométricamente precisa, los cuadriláteros geométricos son figuras planas formadas por cuatro segmentos que se cortan en cuatro puntos no alineados llamados vértices. Paralelogramo: “Un paralelogramo es un cuadrilátero que tienen dos pares de lados paralelos.” Los paralelogramos son figuras geométricas que tienen cuatro lados y dos pares de lados paralelos. Los paralelogramos se clasifican en diferentes tipos según la forma y la posición de sus lados y ángulos: Cuadrado: es un paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos. El cuadrado es un caso especial de rectángulo y de rombo. El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría y un centro de simetría. El área de un cuadrado se calcula multiplicando el lado por sí mismo. El perímetro de un cuadrado se calcula multiplicando el lado por cuatro. Rectángulo: es un paralelogramo que tiene los cuatro ángulos rectos. El rectángulo es un caso especial de paralelogramo. El rectángulo tiene dos ejes de simetría y un centro de simetría. El área de un rectángulo se calcula multiplicando la base por la altura. El perímetro de un rectángulo se calcula sumando el doble de la base más el doble de la altura. Rombo: es un paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales sin formar ángulos rectos. El rombo es un caso especial de paralelogramo. El rombo tiene dos ejes de simetría y un centro de simetría. El área de un rombo se calcula multiplicando el producto de las diagonales por la mitad. El perímetro de un rombo se calcula multiplicando el lado por cuatro. GEOMETRÍA EUCLIDIANA60 Romboide: es un paralelogramo que no tiene ningún lado ni ángulo igual. El romboide es también conocido como paralelogramo no regular. El romboide tiene un eje de simetría y un centro de simetría. El área de un romboide se calcula multiplicando la base por la altura. El perímetro de un romboide se calcula sumando el doble de la base más el doble del lado. Propiedades de los paralelogramos: - Los lados opuestos son congruentes (iguales). - Los ángulos opuestos son congruentes. - Los ángulos consecutivos son suplementarios (suman 180°). - Las diagonales se bisecan entre sí. - Si un ángulo es recto, entonces todos los ángulos son rectos. Además, los lados opuestos son congruentes. - El área se calcula multiplicando la base por la altura. Trapecio: “Un trapecio es un cuadrilátero que tienen un par de lados paralelos llamados bases.” Los trapecios son figuras geométricas que tienen cuatro lados, de los cuales dos son paralelos y se llaman bases, y los otros dos son no paralelos y se llaman lados laterales. Los trapecios se clasifican en: Trapecio isósceles: si los lados no paralelos son congruentes. En este caso, los ángulos de la misma base son congruentes y las diagonales son congruentes. Trapecio rectángulo: si tiene dos ángulos rectos. En este caso, las diagonales son congruentes. Trapecio escaleno: si no tiene ningún lado ni ángulo congruente. Trapecio trisolátero: si tiene tres lados congruentes. En este caso, el lado no congruente es paralelo a la base menor y los ángulos de la base mayor son congruentes. GEOMETRÍA EUCLIDIANA61 Propiedades de los trapecios: - La suma de los ángulos internos es 360º. - La suma de los ángulos externos es 360º. - La mediana es el segmento que une los puntos medios de los lados laterales. La mediana es paralela a las bases y su longitud es igual a la media aritmética de las longitudes de las bases. - Las alturas son los segmentos perpendiculares a las bases que pasan por los vértices opuestos. Las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro. - Las bisectrices son las rectas que dividen los ángulos internos en dos partes iguales. Las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro. - Las mediatrices son las rectas perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios. Las mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro. Área de los trapecios: El área de los trapecios se calcula usando la fórmula: Área = (B + b)h / 2, donde B y b son las longitudes de las bases y h es la altura. Trapezoide: “Un trapezoide es un cuadrilátero que no tienen ningún lado paralelo.” Los trapezoides son figuras geométricas que tienen cuatro lados, de los cuales dos son paralelos y se llaman bases, y los otros dos son no paralelos y se llaman lados laterales. Los trapezóides se clasifican en: Trapezoide isósceles: si los lados laterales son iguales. En este caso, los ángulos de la misma base son iguales y las diagonales son iguales. Trapezoide rectángulo: si tiene dos ángulos rectos. En este caso, las diagonales son iguales. Trapezoide escaleno: si no tiene ningún lado ni ángulo igual. GEOMETRÍA EUCLIDIANA62 Trapezoide trisolátero: si tiene tres lados iguales. En este caso, el lado no igual es paralelo a la base menor y los ángulos de la base mayor son iguales. Propiedades de los trapezóides: - La suma de los ángulos internos es 360º. - La suma de los ángulos externos es 360º. - La mediana es el segmento que une los puntos medios de los lados laterales. La mediana es paralela a las bases y su longitud es igual a la media aritmética de las longitudes de las bases. - Las alturas son los segmentos perpendiculares a las bases que pasan por los vértices opuestos. Las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro. - Las bisectrices son las rectas que dividen los ángulos internos en dos partes iguales. Las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro. - Las mediatrices son las rectas perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios. Las mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro. Área de los trapezoides: El área de un trapezoide se puede calcular usando la fórmula: Área = (B + b)h / 2, donde B y b son las longitudes de las bases y h es la altura1. El perímetro de un trapezoide se puede calcular sumando las longitudes de los cuatro lados. Es interesante conocer que el área total virtual de planta de un tirador generará, habitualmente, un trapezoide. El área de este trapezoide marcará donde podrá quedar proyectado el centro de masas del tirador, sabiendo que cuando salga de dicho área, el tirador amorrará o tenderá a perder el equilibrio. GEOMETRÍA EUCLIDIANA63 Polígonos regulares e irregulares: “Un polígono es una figura geométrica de dos dimensiones formadas por segmentos de recta que se unen en sus extremos.” Polígono regular: “Un polígono regular es un polígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales.” Esto implica que el polígono es equilátero (todos sus lados tienen la misma longitud) y equiángulo (todos sus ángulos tienen la misma medida). Los polígonos regulares son también polígonos convexos, es decir, que no tienen ángulos mayores de 180º y que cualquier segmento que una dos puntos del polígono queda totalmente dentro del polígono. Los polígonos regulares tienen varias propiedades que los caracterizan: - Son simétricos respecto a su centro, es decir, que si se gira el polígono alrededor de su centro, se obtiene la misma figura. El centro del polígono regular es el punto donde se cortan las bisectrices de sus ángulos, las mediatrices de sus lados y las medianas de sus vértices. - Tienen un número finito de ejes de simetría, que son las rectas que dividen al polígono en dos partes iguales y opuestas. El número de ejes de simetría coincide con el número de lados del polígono. - Tienen una circunferencia circunscrita, que es la circunferencia que pasa por todos los vértices del polígono. El centro de la circunferencia circunscrita coincide con el centro del polígono y el radio de la circunferencia es igual a la distancia entre el centro y cualquier vértice. - Tienen una circunferencia inscrita, que es la circunferencia que es tangente a todos los lados del polígono. El centro de la circunferencia inscrita coincide con el centro del polígono y el radio de la circunferencia es igual a la distancia entre el centro y cualquier lado. GEOMETRÍA EUCLIDIANA64 Área de un polígono regular: El área de un polígono regular se puede calcular usando la fórmula: Área = (n x a x r) / 2, donde n es el número de lados, a es la longitud de un lado y r es el radio de la circunferencia inscrita. Perímetro de un polígono: El perímetro de un polígono regular se puede calcular usando la fórmula: Perímetro = n x a, donde n es el número de lados y a es la longitud de un lado. Los polígonos regulares se pueden nombrar según el número de lados que tienen, usando el prefijo griego correspondiente y el sufijo -gono. Por ejemplo, un polígono regular de tres lados se llama triángulo, uno de cuatro lados se llama cuadrado, uno de cinco lados se llama pentágono, etc. Algunos polígonos regulares tienen nombres especiales, como el hexágono (seis lados), el octógono (ocho lados) o el dodecágono (doce lados). Polígono irregular: “Un polígono irregular es un polígono que no tiene todos sus lados y ángulos iguales.” Esto implica que el polígono puede ser no equilátero (algunos de sus lados tienen distinta longitud), no equiángulo (algunos de sus ángulos tienen distinta medida) o ambas cosas a la vez. Los polígonos irregulares pueden ser también polígonos cóncavos, es decir, que tienen algún ángulo mayor de 180º y que algún segmento que une dos puntos del polígono queda parcialmente fuera del polígono. Los polígonos irregulares no tienen tantas propiedades como los polígonos regulares, y siendo así, se pueden mencionar algunas, como: - No son simétricos respecto a su centro, es decir, que si se gira el polígono alrededor de su centro, no se obtiene la misma figura. El centro del polígono irregular se puede definir como el punto que minimiza la suma GEOMETRÍA EUCLIDIANA65 de los cuadrados de las distancias a los vértices, mas no coincide con el punto donde se cortan las bisectrices, las mediatrices o las medianas. - Pueden tener o no ejes de simetría, dependiendo de la forma del polígono. El número de ejes de simetría puede ser menor que el número de lados del polígono. Por ejemplo, un trapecio isósceles tiene un eje de simetría, mientras que un trapecio escaleno no tiene ninguno. - Pueden tener o no una circunferencia circunscrita, dependiendo de la forma del polígono. Si la tienen, el centro de la circunferencia no coincide con el centro del polígono y el radio de la circunferencia es igual a la distancia entre el centro y el vértice más alejado. - Pueden tener o no una circunferencia inscrita, dependiendo de la forma del polígono. Si la tienen, el centro de la circunferencia no coincide con el centro del polígono y el radio de la circunferencia es igual a la distancia entre el centro y el lado más cercano. Área de un polígono regular: - El área de un polígono irregular se puede calcular usando diferentes métodos, dependiendo de la información que se tenga sobre el polígono. Algunos de los métodos más comunes son: descomponer el polígono en figuras más simples, usar la fórmula de Herón, usar la fórmula de Bretschneider o usar la fórmula de Pick. Perímetro de un polígono: - El perímetro de un polígono irregular se puede calcular sumando las longitudes de todos los lados. Los polígonos irregulares se pueden nombrar según el número de lados que tienen, usando el prefijo griego correspondiente y el sufijo -gono, seguido de la palabra irregular. GEOMETRÍA EUCLIDIANA66 Por ejemplo, un polígono irregular de tres lados se llama triángulo irregular, uno de cuatro lados se llama cuadrilátero irregular, uno de cinco lados se llama pentágono irregular, etc. Algunos polígonos irregulares tienen nombres especiales, como el trapecio (cuatro lados, dos paralelos), el trapezoide (cuatro lados, ninguno paralelo) o el deltoides (cuatro lados, dos pares de lados iguales). GEOMETRÍA EUCLIDIANA67 Circunferencia: La circunferencia es una de las figuras geométricas más simples y fundamentales de la geometría plana. Se puede definir de varias formas equivalentes: “La circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que están a una distancia fija de un punto llamado centro.” Esta definición implica que la circunferencia es una curva cerrada, plana y simétrica, que tiene una forma circular. La distancia fija entre el centro y cualquier punto de la circunferencia se llama radio, y es una de las medidas más importantes de esta figura. Otra medida relevante es el diámetro, que es el segmento que une dos puntos opuestos de la circunferencia pasando por el centro. “El diámetro es el doble del radio, es decir, d = 2r.” La circunferencia tiene varios elementos que se pueden identificar y estudiar, como se muestra en la siguiente imagen: Elementos específicos de la circunferencia: Centro (c): Es el punto fijo del que equidistan todos los puntos de la circunferencia. Es el punto de simetría de la figura y el origen de las coordenadas polares. Radio (r): Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Es la medida de la distancia entre el centro y la curva. Todos los radios de una circunferencia son iguales. Diámetro (d): Es el segmento que une dos puntos opuestos de la circunferencia pasando por el centro. Es la mayor distancia entre dos puntos de la circunferencia. Todos los diámetros de una circunferencia son iguales y son el doble del radio. Cuerda (AB): Es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia, sin pasar por el centro. El diámetro es una cuerda especial que pasa por el centro. GEOMETRÍA EUCLIDIANA68 La cuerda más cercana al centro es la mediana de la circunferencia. Arco (ACB): Porción de la curva comprendida entre dos puntos de la circunferencia, resultante del ángulo que se forma en una circunferencia al unir dos puntos exteriores con su centro. El arco se puede medir por su longitud o por el ángulo que abarca en el centro. El arco más largo de una circunferencia es el que mide 180° y se llama semicircunferencia. - Arco mayor: Porción de la curva comprendida entre dos puntos de la circunferencia, mayor que una semicircunferencia, resultante del ángulo que se forma en una circunferencia al unir dos puntos exteriores con su centro. - Arco menor: Porción de la curva comprendida entre dos puntos de la circunferencia, menor que una semicircunferencia, resultante del ángulo que se forma en una circunferencia al unir dos puntos exteriores con su centro. Sector circular (ACOB): Es la porción del plano de una circunferencia limitada por dos radios y el arco que determinan. El sector circular se puede medir por su área o por el ángulo que abarca en el centro. El sector circular más grande de una circunferencia es el que mide 360° y se llama círculo. Segmento circular (ACBC): Es la porción del plano de una circunferencia limitada por una cuerda y el arco que determina. El segmento circular se puede medir por su área o por la altura de la cuerda. El segmento circular más grande de una circunferencia es el que tiene por cuerda el diámetro y se llama semicírculo. Ángulo central (AOC): Es el ángulo formado por dos radios que parten del centro. El ángulo central mide lo mismo que el arco que subtiende. El ángulo central más grande de una circunferencia es el que mide 360° y se llama ángulo perigonal. GEOMETRÍA EUCLIDIANA69 Ángulo inscrito (ABC): Es el ángulo formado por dos cuerdas que parten de un mismo punto de la circunferencia. El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que subtiende. El ángulo inscrito más grande de una circunferencia es el que mide 180° y se llama ángulo llano. Ángulo semiinscrito (ACB): Es el ángulo formado por una cuerda y una tangente que parten de un mismo punto de la circunferencia. El ángulo semiinscrito mide la mitad que el arco comprendido entre los puntos de contacto. El ángulo semiinscrito más grande de una circunferencia es el que mide 90° y se llama ángulo recto. Tangente (t): Es la recta que toca a la circunferencia en un solo punto llamado punto de tangencia. La tangente es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia. La tangente es exterior a la circunferencia y no corta a la curva en ningún otro punto. Secante (s): Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos llamados puntos de corte. La secante es exterior a la circunferencia en los segmentos que no están entre los puntos de corte. La secante es interior a la circunferencia en el segmento que está entre los puntos de corte. Perímetro de una circunferencia: La longitud del perímetro de una circunferencia es lo que mide todo el contorno de esta. El perímetro de una circunferencia es proporcional al radio y al número pi, que es una constante irracional que se aproxima a 3,1416. La fórmula para calcular la longitud de una circunferencia es: L = 2πr. GEOMETRÍA EUCLIDIANA70 Área de una circunferencia: El área de un círculo, que es la región del plano delimitada por una circunferencia, es proporcional al cuadrado del radio y al número pi. La fórmula para calcular el área de un círculo es: A = πr^2. Propiedades de la circunferencia: La circunferencia es una figura geométrica que tiene numerosas propiedades y aplicaciones en la matemática y en otras disciplinas. La circunferencia es la curva plana de menor perímetro para una superficie dada. Esto significa que de todas las figuras planas que tienen la misma área, la circunferencia es la que tiene el menor contorno. Esta propiedad se conoce como el problema de isoperímetros y fue demostrada por Jakob Steiner en 1838. La circunferencia es la única curva plana que tiene curvatura constante. Esto significa que en cualquier punto de la circunferencia, la curvatura es la misma y es igual al inverso del radio. La curvatura es una medida de cuánto se aleja una curva de ser recta. Una recta tiene curvatura cero, mientras que una circunferencia tiene la máxima curvatura posible. La circunferencia es la única curva plana que es ortogonal a sí misma. Esto significa que en cualquier punto de la circunferencia, la recta tangente es perpendicular a la recta normal, que es la que pasa por el centro. Esta propiedad se conoce como la propiedad de Pitot y fue demostrada por Henri Pitot en 1725. Relevancia técnica histórica de la circunferencia: La circunferencia es una figura geométrica que tiene una gran relevancia en la historia y en la cultura humana. Desde la antigüedad, la circunferencia ha sido asociada con conceptos como la perfección, la armonía, la eternidad, el infinito, el movimiento, el tiempo, el espacio, el cosmos, el sol, la luna, etc. La circunferencia ha sido usada como símbolo y como instrumento en diversas disciplinas como la astronomía, la astrología, la religión, la filosofía, la música, el arte, la arquitectura, la ingeniería, la navegación, la medicina, etc. La circunferencia ha sido también objeto de estudio y de admiración por parte de grandes matemáticos, físicos, geómetras, artistas, poetas, filósofos, etc. Algunos ejemplos de la presencia y la importancia de la circunferencia en la historia y en la cultura son: GEOMETRÍA EUCLIDIANA71 La rueda: La rueda, que es un disco circular que gira alrededor de un eje y que permite el movimiento de vehículos y máquinas. La rueda es una de las invenciones más relevantes y revolucionarias de la historia de la humanidad, ya que facilitó el transporte, la agricultura, la industria, la guerra, el comercio, etc. La rueda se originó en el Neolítico, alrededor del 4000 a.C, y se perfeccionó a lo largo de los siglos con diversos materiales y diseños, siguiendo su desarrollo al momento de escribir estas líneas. El compás: El compás, como objeto físico con uso técnico, que resulta ser un instrumento tangible para trazar circunferencias y medir distancias. El compás consta de dos brazos articulados, uno con una punta y otro con un lápiz o una pluma. El compás se usa para dibujar circunferencias con un radio dado, para dividir un segmento en partes iguales, para transportar ángulos, para construir figuras geométricas, etc. El compás es uno de los instrumentos más antiguos y universales de la geometría. Al analizar este instrumento, se puede entender un paralelismo notable entre él y el concepto de compás como medio de desplazar al tirador por el plano inferior. La constante pi: La constante pi, es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. El valor de pi es aproximadamente 3,1416, sin embargo, es un número irracional que tiene infinitos decimales no periódicos. El cálculo de pi ha sido un reto para los matemáticos desde la antigüedad hasta la actualidad, y se han usado diversos métodos para obtener aproximaciones cada vez más precisas. A la fecha de estas líneas, el récord de decimales hallados es de 50 billones de decimales, obtenido por Timothy Mullican en 2020. GEOMETRÍA EUCLIDIANA72 El teorema de Tales: El teorema de Tales, que establece que si una recta corta a dos circunferencias secantes, los segmentos determinados en una son proporcionales a los determinados en la otra. Este teorema fue usado por Tales de Mileto para medir la altura de las pirámides de Egipto en el siglo VI a.C. La cuadratura del círculo: La cuadratura del círculo, que es el problema de construir un cuadrado que tenga la misma área que un círculo dado, usando solo una regla y un compás. Este problema fue planteado por los antiguos griegos y fue demostrado que es imposible de resolver por Ferdinand von Lindemann en 1882. La fórmula de Euler: La fórmula de Euler, que relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo con el número pi. Esta fórmula se puede expresar como V - A + C = 2, donde V es el número de vértices, A es el número de aristas, C es el número de caras y 2 es el doble del número pi. Esta fórmula fue descubierta por Leonhard Euler en el siglo XVIII y es una de las más elegantes y sorprendentes de la matemática. La circunferencia de Mohr: La circunferencia de Mohr, que es una herramienta gráfica para el análisis de esfuerzos y deformaciones en los materiales. La circunferencia de Mohr representa el estado de esfuerzo en un punto mediante un círculo cuyo centro y radio dependen de los esfuerzos normales y cortantes actuantes. La circunferencia de Mohr fue desarrollada por Christian Otto Mohr en el siglo XIX y es ampliamente usada en la ingeniería civil y mecánica. GEOMETRÍA EUCLIDIANA73 Geometría métrica, distancia y norma: “La geometría métrica es la rama de la matemática que se ocupa de medir y comparar las propiedades geométricas de las figuras en el espacio.” La geometría métrica se basa en el concepto de distancia, que es una medida de la separación entre dos puntos, y en el concepto de norma, que es una medida del tamaño o la longitud de un vector. Ambos conceptos están relacionados por el teorema de Pitágoras, que establece que la distancia entre dos puntos es igual a la norma del vector que los une. Por ende, la distancia y la norma son dos conceptos fundamentales de la geometría métrica, que es la rama de la matemática que se ocupa de medir y comparar las propiedades geométricas de las figuras en el espacio. Distancia: “La distancia es una medida de la separación entre dos puntos.” Norma: “La norma es una medida del tamaño o la longitud de un vector.” La distancia y la norma se relacionan por medio del teorema de Pitágoras, que establece que la distancia entre dos puntos es igual a la norma del vector que los une. “El teorema de Pitágoras relaciona la distancia y la norma.” Existen diferentes formas de definir la distancia y la norma, dependiendo del tipo de espacio geométrico que se considere. El espacio más común es el espacio euclídeo, que es el espacio de la geometría clásica, donde se satisfacen los axiomas de Euclides. En el espacio euclídeo, la distancia y la norma se definen mediante el producto escalar, que es una operación que asocia a cada par de vectores un número real. Si los vectores son u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3), el producto escalar entre ellos es: u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3 GEOMETRÍA EUCLIDIANA74 La norma de un vector u se define como la raíz cuadrada de su producto escalar consigo mismo: ||u|| = √(u · u) = √(u1^2 + u2^2 + u3^2) La distancia entre dos puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) se define como la norma del vector AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1): d(A, B) = ||AB|| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) Estas definiciones se pueden generalizar a espacios de cualquier dimensión, y se conocen como la norma y la distancia euclidianas. Con estas definiciones, el espacio euclídeo se convierte en un espacio métrico, es decir, un espacio donde se puede medir la distancia entre sus puntos. Además, el espacio euclídeo tiene otras propiedades, como la ortogonalidad, el ángulo, la proyección y la simetría, que se pueden expresar en términos del producto escalar. Sin embargo, el espacio euclídeo no es el único espacio geométrico que existe. Hay otros espacios que tienen otras formas de definir la distancia y la norma, que pueden ser más adecuadas para modelar ciertos fenómenos físicos o matemáticos. Por ejemplo, el espacio de Minkowski es el espacio de la teoría de la relatividad especial de Einstein, donde la distancia entre dos puntos no es constante, sino que depende del estado de movimiento del observador. En el espacio de Minkowski, la distancia y la norma se definen mediante el producto de Minkowski, que es una variación del producto escalar. Si los vectores son u = (u0, u1, u2, u3) y v = (v0, v1, v2, v3), el producto de Minkowski entre ellos es: u · v = u0v0 - u1v1 - u2v2 - u3v3 La norma de un vector u se define como la raíz cuadrada de su producto de Minkowski consigo mismo: ||u|| = √(u · u) = √(u0^2 - u1^2 - u2^2 - u3^2) La distancia entre dos puntos A(x0, x1, x2, x3) y B(y0, y1, y2, y3) se define como la norma del vector AB = (y0 - x0, y1 - x1, y2 - x2, y3 - x3): d(A, B) = ||AB|| = √((y0 - x0)^2 - (y1 - x1)^2 - (y2 - x2)^2 - (y3 - x3)^2) GEOMETRÍA EUCLIDIANA75 Estas definiciones se conocen como la norma y la distancia de Minkowski. Con estas definiciones, el espacio de Minkowski se convierte en un espacio pseudométrico, es decir, un espacio donde se puede medir la distancia entre sus puntos, que puede ser cero para puntos distintos. Además, el espacio de Minkowski tiene otras propiedades, como la dilatación del tiempo, la contracción de la longitud y la invariancia de la velocidad de la luz, que se pueden expresar en términos del producto de Minkowski. Estos son solo dos ejemplos de espacios geométricos con diferentes definiciones de distancia y norma. Hay muchos otros espacios que tienen otras formas de definir estos conceptos, como el espacio de Hilbert, el espacio de Banach, el espacio de Hamming, el espacio de Manhattan, el espacio de Mahalanobis, el espacio de Finsler, el espacio de Riemann y el espacio de Lorentz, entre otros. Cada uno de estos espacios tiene sus propias características y aplicaciones, pudiéndose estudiar con las herramientas del análisis matemático y del álgebra lineal. Perímetro y área: El perímetro y el área son dos conceptos fundamentales de la geometría métrica, que es la rama de la matemática que se ocupa de medir y comparar las propiedades geométricas de las figuras en el espacio. El perímetro y el área se pueden aplicar a cualquier figura cerrada, sin importar si es regular o irregular, plana o tridimensional. Perímetro: “El perímetro de una figura es la longitud total de su contorno, es decir, la suma de las longitudes de sus lados o aristas.” El perímetro se mide en unidades de una sola dimensión, como metros, centímetros o pulgadas. El perímetro se puede calcular mediante diversas fórmulas, que dependen de la forma y el número de lados de la figura. Por ejemplo, el perímetro de un cuadrado es cuatro veces la longitud de su lado, el perímetro de un círculo es dos veces el producto del número pi por el radio, y el perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus tres lados. Área: “El área de una figura es la medida de la superficie que ocupa.” GEOMETRÍA EUCLIDIANA76 El área se mide en unidades cuadradas, como metros cuadrados, centímetros cuadrados o pulgadas cuadradas. El área se puede calcular mediante diversas fórmulas, que dependen de la forma y las dimensiones de la figura. Por ejemplo, el área de un cuadrado es el cuadrado de la longitud de su lado, el área de un círculo es el producto del número pi por el cuadrado del radio, y el área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura. El perímetro y el área son útiles para describir y comparar las figuras geométricas, así como para resolver problemas prácticos relacionados con el espacio, como el diseño, la construcción, la pintura, el embalaje, el cálculo de impuestos, el consumo de recursos, etc. El perímetro y el área también se pueden generalizar a otras dimensiones y a otras geometrías, como la geometría no euclidiana y la geometría diferencial. Es importante entender que el área se puede describir también como: “El área es la superficie total acotada que queda distinguida de aquello que lo rodea.” Esto dará lugar a que el área de un duelo se llame así con propiedad, pues es directa la relación entre el concepto geométrico y la delimitación del espacio en que los tiradores tendrán que permanecer durante los asaltos. GEOMETRÍA EUCLIDIANA77 Teorema de Pitágoras: El teorema de Pitágoras dicta una relación entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Esto resulta una de las proposiciones más importantes y conocidas de la geometría euclidiana. Teorema de Pitágoras: “El cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los otros dos lados que no son la hipotenusa).” Es decir, si en un triángulo rectángulo hay catetos de longitud a y b, y la medida de la hipotenusa es c, entonces se cumple la siguiente ecuación: c^2 = a^2 + b^2 Esta ecuación permite calcular la longitud de cualquiera de los lados del triángulo rectángulo si se conocen los otros dos. También permite conocer el área de cualquier tipo de triángulo a través de su división en triángulos rectángulos.