El teorema de Pitágoras se puede explicar mediante el concepto de área. Si se construyen cuatro triángulos rectángulos iguales con los lados a, b y c, y se los dispone alrededor de un cuadrado de lado c, se forma un cuadrado mayor de lado a + b. El área del cuadrado mayor es igual a la suma de las áreas de los cuatro triángulos y el cuadrado menor. Por otro lado, el área del cuadrado mayor también es igual al cuadrado de su lado. Igualando estas dos expresiones, se obtiene el teorema de Pitágoras: (a + b)^2 = 4(ab/2) + c^2 a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 a^2 + b^2 = c^2 El teorema de Pitágoras se puede demostrar de muchas formas diferentes, algunas de ellas muy antiguas y otras más modernas. Una de las demostraciones más sencillas y elegantes es la que se atribuye al matemático indio Bhaskara II, que vivió en el siglo XII. Esta demostración se basa en un diagrama, en que se observa un cuadrado de lado a + b, dividido en cuatro partes: un cuadrado de lado c y cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c. GEOMETRÍA EUCLIDIANA78 La demostración consiste en comparar el área del cuadrado grande con el área de las cuatro partes. Por un lado, el área del cuadrado grande es igual al cuadrado de su lado: A1 = (a + b)^2 Por otro lado, el área de las cuatro partes es igual a la suma de las áreas del cuadrado pequeño y los cuatro triángulos: A2 = c^2 + 4(ab/2) Igualando estas dos expresiones, se obtiene el teorema de Pitágoras: (a + b)^2 = c^2 + 4(ab/2) a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab a^2 + b^2 = c^2 Esta es una de las muchas formas de demostrar el teorema de Pitágoras, que se ha utilizado en numerosas ocasiones por muchos métodos diferentes, posiblemente el mayor número de teoremas matemáticos. Las pruebas son diversas, e incluyen tanto pruebas geométricas como algebraicas, y algunas se remontan a miles de años atrás. En la Esgrima Láser, el teorema de Pitágoras es fundamental para entender la naturaleza de los medios emergentes de la triangulación sobre el plano inferior y de la triangulación ejecutiva de las armas. Es por ello que todos los triángulos, emergentes de las posiciones de los tiradores y de sus armas, son rectángulos, para así poder aplicar el teorema en cuestión a la hora de hacer un análisis preciso de lo acontecido. GEOMETRÍA EUCLIDIANA79 Teorema de Herón: “El teorema de Herón es una fórmula que permite calcular el área de un triángulo cualquiera, conociendo solo las longitudes de sus tres lados.” El teorema lleva el nombre del matemático griego Herón de Alejandría, que lo enunció y demostró en su libro Métrica, escrito en el siglo I d.C. El teorema de Herón es una generalización de la fórmula del área de un triángulo rectángulo, que se basa en la mitad del producto de la base por la altura. Siendo así, el teorema de Herón no requiere conocer la altura del triángulo, ni elegir un lado como base, ni tan siquiera saber si el triángulo es rectángulo o no. De esta manera, este teorema complementa al teorema de Pitágoras, dándole al conocedor de ellos unas herramientas de análisis fundamentales para la reducción geométrica de la realidad. “El teorema de Herón complementa al teorema de Pitágoras.” El teorema de Herón se puede expresar de la siguiente manera: si un triángulo tiene lados de longitud a, b y c, entonces su área es: A = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) Donde s es el semiperímetro del triángulo, es decir, la mitad de la suma de sus lados: s = (a + b + c) / 2 Esta fórmula se puede deducir a partir de la fórmula del área de un triángulo rectángulo, usando el teorema de Pitágoras y algunas identidades algebraicas. Demostración: Sea h la altura del triángulo respecto al lado c, y sea d la distancia desde el vértice opuesto al lado c hasta el pie de la altura. Entonces, el área del triángulo es: A = (c * h) / 2 GEOMETRÍA EUCLIDIANA80 Por el teorema de Pitágoras, se tiene que: h^2 = a^2 - d^2 h^2 = b^2 - (c - d)^2 Igualando estas dos expresiones y simplificando, se obtiene que: d = (a^2 + c^2 - b^2) / (2c) Sustituyendo este valor de d en la primera expresión de h^2, se tiene que: h^2 = (a2c2 + c^4 - b2c2 - 2a2c2 + 2b2c2 - a^4) / (4c^2) Simplificando y factorizando, se obtiene que: h^2 = (c^2 - (a - b)2)(c2 - (a + b)^2) / (4c^2) Sustituyendo este valor de h^2 en la expresión del área, se tiene que: A = (c * √((c^2 - (a - b)2)(c2 - (a + b)^2))) / (4c) Simplificando y reordenando, se obtiene que: A = √((a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)) / 4 Observando que cada factor del radicando es el doble del semiperímetro menos uno de los lados, se tiene que: A = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) Siendo esta la fórmula de Herón. GEOMETRÍA EUCLIDIANA81 Teorema de Tales: “Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra.” El teorema de Tales es un teorema de la geometría que se considera el teorema fundamental de la semejanza de triángulos, y establece dos afirmaciones relacionadas con la proporcionalidad y la semejanza de figuras planas: Primera afirmación del teorema de Tales: “Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado, es decir, que tiene los mismos ángulos y los lados proporcionales.” Segunda afirmación del teorema de Tales: “Si los extremos de un diámetro de un círculo y cualquier otro punto de la circunferencia forman un triángulo, entonces este triángulo es rectángulo, es decir, que tiene un ángulo de 90° opuesto al diámetro.” Estas afirmaciones se atribuyen al matemático griego Tales de Mileto, que vivió en el siglo VI a. C. y que fue uno de los primeros en aplicar la geometría a la medición de objetos reales. Aplicaciones: El teorema de Tales tiene muchas aplicaciones prácticas en la geometría y en la resolución de problemas. Ejemplo de ello es que se puede usar para calcular distancias inaccesibles, como la altura de una pirámide o la anchura de un río, usando proporciones y semejanzas. El teorema de Tales se puede usar para construir ángulos rectos usando una cuerda y un compás, o para demostrar otras propiedades geométricas, como el teorema de Pitágoras o el teorema de la mediana. Además, el teorema de Tales es la base de la geometría proyectiva, que estudia las propiedades de las figuras que se conservan bajo proyecciones, como las sombras o las perspectivas. GEOMETRÍA EUCLIDIANA82 Para demostrar el teorema de Tales, se pueden usar diferentes métodos, como la deducción: Demostración de la primera afirmación del teorema de Tales: Sea ABC un triángulo y DE una línea paralela al lado BC, que corta a los lados AB y AC en los puntos D y E, respectivamente. Queremos demostrar que el triángulo ADE es semejante al triángulo ABC, es decir, que tienen los mismos ángulos y los lados proporcionales. Para ello, usamos el siguiente razonamiento: Como DE es paralela a BC, los ángulos alternos internos ADE y ABC son iguales, y los ángulos correspondientes AED y ACB son iguales. Por tanto, los triángulos ADE y ABC tienen dos ángulos iguales, y por el teorema del ángulo exterior, también tienen el tercer ángulo igual. Esto implica que los triángulos ADE y ABC son semejantes por el criterio AA (ángulo-ángulo). Como los triángulos ADE y ABC son semejantes, sus lados son proporcionales, es decir, que se cumple que: \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE} Por lo tanto, hemos demostrado la primera afirmación del teorema de Tales. Demostración de la segunda afirmación del teorema de Tales: Sea O el centro de un círculo, AC un diámetro del círculo y B un punto cualquiera de la circunferencia. Queremos demostrar que el triángulo ABC es rectángulo, es decir, que tiene un ángulo de 90° opuesto al diámetro. Para ello, usamos el siguiente razonamiento: Como AC es un diámetro del círculo, el segmento OC es la mitad del diámetro, y por tanto, es un radio del círculo. Lo mismo ocurre con los segmentos OA y OB, que también son radios del círculo. Por tanto, los triángulos OAB y OBC son isósceles, ya que tienen dos lados iguales. Como los triángulos OAB y OBC son isósceles, sus ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Por tanto, se cumple que: \ángulo OAB=\ángulo OBA \ángulo OBC=\ángulo OCB GEOMETRÍA EUCLIDIANA83 Sumando estas igualdades, obtenemos que: \ángulo OAB+\ángulo OBC=\ángulo OBA+\ángulo OCB Pero estos ángulos son los ángulos interiores de un cuadrilátero, que suman 360°. Por tanto, se cumple que: \ángulo OAB+\ángulo OBC+\ángulo OBA+\ángulo OCB=360° Sustituyendo la igualdad anterior, obtenemos que: 2(\ángulo OAB+\ángulo OBC)=360° Dividiendo entre 2, obtenemos que: \ángulo OAB+\ángulo OBC=180° Pero estos ángulos son los ángulos adyacentes al ángulo ABC, que forman un ángulo llano. Por tanto, se cumple que: \ángulo ABC=180°-(\ángulo OAB+\ángulo OBC) Sustituyendo la igualdad anterior, obtenemos que: \ángulo ABC=180°-180° Simplificando, obtenemos que: \ángulo ABC=0° Sin embargo, esto es absurdo, ya que un ángulo no puede medir 0°. Por tanto, hemos llegado a una contradicción, y debemos rechazar la hipótesis inicial de que el triángulo ABC no es rectángulo. Esto implica que el triángulo ABC es rectángulo, y por tanto, tiene un ángulo de 90° opuesto al diámetro. Por lo tanto, hemos demostrado la segunda afirmación del teorema de Tales. ———— GEOMETRÍA ESPACIAL GEOMETRÍA ESPACIAL87 Geometría espacial, generalidades: “La geometría espacial es una rama de la geometría que se ocupa del estudio de las figuras geométricas que tienen volumen y ocupan un lugar en el espacio tridimensional o espacio euclídeo.” La geometría espacial tendrá lugar cuando los elementos estudiados queden ubicados en un punto o puntos de un entorno, en una o más dimensiones. El lugar donde existirán se llamará espacio geométrico, siendo este posible que tenga una, dos, tres o más dimensiones, donde podrán quedar ubicados y localizados los puntos que determinan la posición de un elemento. Espacio geométrico: “El espacio geométrico es un entorno dimensional donde existen ubicaciones, y donde hay unas propiedades concretas que determinan la naturaleza de los elementos, las formas y la relación entre ellos.” Plano de proyección: “Un plano de proyección es aquel espacio geométrico donde se proyecta un elemento, de menos, igual o más dimensiones.” Se llamará plano a cualquier espacio geométrico donde se proyecte un objeto que tenga menos, igual o más dimensiones que el espacio donde se proyecta. O sea, que en plano de tres dimensiones podrá quedar proyectado un objeto que esté definido en cuatro dimensiones, tal y como en un plano bidimensional podrá quedar proyectado un objeto tridimensional. “Se precisará dinámica o varias perspectivas para poder determinar la forma real de un objeto proyectado en un plano, de menos dimensiones de las que definen al objeto, o de las que participa la ubicación de este.” Cuando un objeto se proyecta en un plano con menos dimensiones que este, o con menos dimensiones de las que el objeto está participando, se precisará el movimiento o varias perspectivas para poder entender la forma real de dicho objeto, pues su proyección estática única tan solo podrá ofrecer una sombra parcial del objeto. GEOMETRÍA ESPACIAL88 Es por ello que se precisará la dinámica y el conocimiento de esta, que pueda dar a entender la forma del objeto, haciendo que su sombra. El plano de proyección de tres dimensiones, en que se satisfacen los postulados generales de la geometría, que originalmente dictó Euclides, se llamará espacio euclidiano o euclídeo, en honor a este. Espacio euclidiano o euclídeo: “El espacio euclidiano es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los postulados generales de la geometría, en tres dimensiones.” La recta real, el plano euclídeo y el espacio tridimensional de la geometría euclidiana son casos especiales de espacios euclidianos de dimensiones 1, 2 y 3 respectivamente, que existen como referencia por ser los espacios máximos donde pueden existir ubicaciones dentro de sus dimensiones. En el caso de la recta real, tan solo pueden existir ubicaciones en una dimensión, en el plano euclídeo, en dos dimensiones, y en el espacio tridimensional, en tres. “La recta real, el plano euclídeo y el espacio tridimensional de la geometría euclidiana son casos especiales de espacios euclidianos de dimensiones 1, 2 y 3 respectivamente.” Recta real: “La recta real es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los postulados generales de la geometría, en una dimensión.” Cuando una recta está ubicada en un espacio de más dimensiones, se verá como una línea, en la que un punto podrá estar dispuesto a lo largo de su longitud. El espacio de dos dimensiones que puede contener más de una recta será el plano euclidiano. Plano euclidiano: “El plano euclidiano es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los postulados generales de la geometría, en dos dimensiones.” GEOMETRÍA ESPACIAL89 Cuando un plano euclidiano, de dos dimensiones, está ubicado en un espacio de tres dimensiones, se verá como una lámina, que tendrá ancho y alto, mas no poseerá grosor alguno, lo que lo hará invisible a aquel que quede con su visión paralela a él, estando en dicho plano. El plano de tres dimensiones que puede contener más de un plano euclidiano será el espacio euclidiano. Un ejemplo de plano euclidiano, dentro de la geometría del asalto, será el plano inferior. Este plano estará inmerso y ubicado en un espacio de tres dimensiones. Sobre el plano inferior se proyectarán otros elementos geométricos, que estarán fuera de él, y que existen también en el mismo espacio tridimensional. Algunos ejemplos de los elementos que se proyectarán sobre el plano inferior serán: - El centro de masas proyectado, que será un punto adimensional. - El diámetro común de los tiradores, siendo el diámetro de una circunferencia que pasa por el centro de masas proyectado de ambos tiradores. - El segmento del arma, que será una línea finita, existente desde la sencillez de un tirador hasta la punta de su arma. Este segmento quedará ubicado en el espacio tridimensional, lo que hará que al proyectarse sobre el plano inferior precise de movimiento para determinar su verdadera longitud. - El ángulo de desfase, que será el ángulo entre el diámetro común y la línea del foco paciente. Espacio euclidiano: “El espacio euclídeo es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los postulados generales de la geometría, en tres dimensiones.” Un espacio euclidiano puede estar contenido en un espacio de más dimensiones. Ejemplo de esto es el espacio tridimensional que experimenta el humano, que tiene tres dimensiones y transcurre en el tiempo, siendo esta una cuarta dimensión en la que tiene lugar el espacio. “La realidad humana transcurre en un espacio euclidiano durante la dimensión temporal.” GEOMETRÍA ESPACIAL90 El espacio euclidiano o euclídeo se puede modelar con las líneas que pasan por el origen en un espacio vectorial, y se puede dotar de un producto escalar que permite medir distancias y ángulos. El espacio euclídeo se usa para modelar el espacio físico y tiene muchas aplicaciones en la física, la astronomía, la cartografía, el arte y otras áreas del conocimiento. Este espacio euclídeo se puede generalizar a otras dimensiones y a otras geometrías, como la geometría no euclidiana y la geometría diferencial. Las figuras que tienen volumen y ocupan un lugar en el espacio tridimensional o espacio euclídeo, también llamadas sólidos, se pueden clasificar en poliedros, que son cuerpos con todas las caras planas, y no poliedros o cuerpos redondos, que son cuerpos con al menos una cara curva. Algunos ejemplos de sólidos son el cubo, la esfera, el cilindro, el cono, la pirámide y el prisma. “Un sólido es una figura que tiene y ocupa volumen en un espacio tridimensional.” La geometría espacial se basa en un sistema de coordenadas formado por tres ejes ortogonales (perpendiculares dos a dos), normalizados (con la misma longitud de los vectores básicos) y dextrógiros (con el tercer eje como producto vectorial de los otros dos). Este sistema permite ubicar y medir los puntos, las rectas, los planos y los sólidos en el espacio. “Los planos de proyección cartesiana serán una herramienta funcional para analizar la ubicación, disposición, forma y relación de los elementos en el espacio.” La geometría espacial amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de otras ramas de las matemáticas, como la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva, la trigonometría esférica y la geometría diferencial. También tiene muchas aplicaciones en la física, la astronomía, la cartografía, el arte y otras áreas del conocimiento. GEOMETRÍA ESPACIAL91 Espacio tridimensional: “El espacio tridimensional es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen todo o algunos de los axiomas de Euclides de la geometría, en tres dimensiones.” De manera sencilla, el espacio tridimensional es un entorno en que existen tres dimensiones que pueden definir las magnitudes y formas de un objeto. Ejemplo de esto es el espacio en que existimos los humanos. En este espacio las tres dimensiones son nombradas como anchura, altura y profundidad. El espacio tridimensional se puede modelar con las líneas que pasan por el origen en un espacio vectorial, y se puede dotar de un producto escalar que permite medir distancias y ángulos. El espacio tridimensional se usa para modelar el espacio físico y tiene muchas aplicaciones en la física, la astronomía, la cartografía, el arte y otras áreas del conocimiento. “El espacio tridimensional se puede generalizar a otras dimensiones y a otras geometrías, como la geometría no euclidiana y la geometría diferencial.” Para describir el espacio tridimensional, se utiliza un sistema de coordenadas formado por tres ejes ortogonales (perpendiculares dos a dos), normalizados (con la misma longitud de los vectores básicos) y dextrógiros (con el tercer eje como producto vectorial de los otros dos). Este sistema permite ubicar y medir los puntos, las rectas, los planos y los sólidos en el espacio. Cada punto del espacio se puede representar mediante un vector o una terna ordenada de números reales, que indican la posición del punto respecto al origen y a los ejes. Por ejemplo, el punto P(2, -3, 4) se encuentra a dos unidades del origen en la dirección del eje x, a tres unidades en la dirección opuesta al eje y, y a cuatro unidades en la dirección del eje z. GEOMETRÍA ESPACIAL92 La distancia entre dos puntos del espacio se puede calcular mediante la fórmula de la distancia, que es una generalización del teorema de Pitágoras. Si los puntos son A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2), la distancia entre ellos es: d(A, B) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) El ángulo entre dos vectores del espacio se puede calcular mediante el producto escalar, que es una operación que asocia a cada par de vectores un número real. Si los vectores son u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3), el producto escalar entre ellos es: u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3 El ángulo entre los vectores se puede obtener a partir de la siguiente fórmula, donde ||u|| y ||v|| son las longitudes o normas de los vectores: cos(θ) = (u · v) / (||u|| ||v||) El espacio tridimensional contiene diversas figuras geométricas, como las rectas, los planos y los sólidos. Una recta en el espacio se puede definir mediante una ecuación vectorial, que indica que todos los puntos de la recta son combinaciones lineales de un punto fijo y un vector director. Por ejemplo, la recta que pasa por el punto A(1, 2, 3) y tiene como vector director v = (2, -1, 4) se puede expresar como: r: (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, -1, 4) Donde t es un parámetro real que varía libremente. Un plano en el espacio se puede definir mediante una ecuación cartesiana, que indica que todos los puntos del plano satisfacen una relación lineal entre sus coordenadas. Por ejemplo, el plano que pasa por el punto A(1, 2, 3) y tiene como vector normal n = (2, -1, 4) se puede expresar como: π: 2x - y + 4z = 17 Donde x, y, z son las coordenadas de los puntos del plano. GEOMETRÍA ESPACIAL93 Un sólido en el espacio es un cuerpo geométrico que tiene volumen y ocupa un lugar en el espacio. Los sólidos se pueden clasificar en poliedros, que son cuerpos con todas las caras planas, y no poliedros o cuerpos redondos, que son cuerpos con al menos una cara curva. Algunos ejemplos de sólidos son el cubo, la esfera, el cilindro, el cono, la pirámide y el prisma. El volumen de un sólido se puede calcular mediante diversas fórmulas, que dependen de la forma y las dimensiones del sólido. El volumen de un cubo de lado a es: V = a^3 El volumen de una esfera de radio r es: V = (4/3)πr^3 El volumen de un cilindro de radio r y altura h es: V = πr^2h El volumen de un cono de radio r y altura h es: V = (1/3) πr^2h El volumen de una pirámide de base B y altura h es: V = (1/3)Bh El volumen de un prisma de base B y altura h es: V = Bh GEOMETRÍA ESPACIAL94 GEOMETRÍA ESPACIAL95 Poliedros: “Un poliedro es un cuerpo geométrico tridimensional que posee caras que son polígonos planos. Los poliedros tendrán aristas, vértices y caras, que serán los elementos que los definirán en el espacio. Arista: “Una arista es el segmento de recta que une dos vértices de una cara.” Vértice: “Un vértice es el punto de encuentro de tres o más aristas.” Cara: “Una cara es cada uno de los planos que forman un ángulo diedro o poliedro, o cada uno de los polígonos que forman o limitan un poliedro.” Esto dará lugar a ángulos diedros y poliédricos: Ángulo diedro: “Un ángulo diedro es el ángulo que se forma entre dos caras que comparten una arista.” Ángulo poliédrico: “Un ángulo poliédrico es el ángulo que se forma entre las caras que concurren en un vértice.” GEOMETRÍA ESPACIAL96 Los poliedros se pueden clasificar según la forma y el número de sus caras, así como según la regularidad de sus elementos. Poliedros regulares: “Un poliedro regular es un cuerpo geométrico tridimensional, en que todas sus caras son polígonos regulares iguales, así como son iguales todas sus aristas, vértices, ángulos diedros y ángulos poliédricos.” Los poliedros regulares son aquellos que cumplen las siguientes condiciones: - Todas sus caras son polígonos regulares iguales. Cabe recordar que un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados y ángulos iguales. - Todas sus aristas son iguales. - Todos sus vértices son iguales. - Todos sus ángulos diedros son iguales. - Todos sus ángulos poliédricos son iguales. Solo existen cinco poliedros regulares, que se conocen como sólidos platónicos, en honor al filósofo griego Platón, que los estudió y relacionó con los elementos de la naturaleza. Tetraedro: Poliedro regular que tiene cuatro caras triangulares, seis aristas y cuatro vértices. Cada vértice está formado por tres caras y cada cara tiene tres aristas. El ángulo diedro es de 70,53º y el ángulo poliédrico es de 109,47º. Cubo o hexaedro: Poliedro regular que tiene seis caras cuadradas, doce aristas y ocho vértices. Cada vértice está formado por tres caras y cada cara tiene cuatro aristas. El ángulo diedro es de 90º y el ángulo poliédrico es de 90º. Octaedro: Poliedro regular que tiene ocho caras triangulares, doce aristas y seis vértices. Cada vértice está formado por cuatro caras y cada cara tiene tres aristas. El ángulo diedro es de 109,47º y el ángulo poliédrico es de 60º. GEOMETRÍA ESPACIAL97 Dodecaedro: Poliedro regular que tiene doce caras pentagonales, treinta aristas y veinte vértices. Cada vértice está formado por tres caras y cada cara tiene cinco aristas. El ángulo diedro es de 116,56º y el ángulo poliédrico es de 108º. Icosaedro: Poliedro regular que tiene veinte caras triangulares, treinta aristas y doce vértices. Cada vértice está formado por cinco caras y cada cara tiene tres aristas. El ángulo diedro es de 138,19º y el ángulo poliédrico es de 72º. Poliedros irregulares: “Los poliedros irregulares son aquellos que no cumplen alguna o todas las condiciones de los poliedros regulares.” Los poliedros regulares pueden tener caras de diferentes formas y tamaños, aristas de diferentes longitudes, vértices de diferente grado y ángulos diedros y poliédricos de diferentes medidas. Hay infinitos poliedros irregulares, y se pueden clasificar según distintos criterios, como la convexidad, la uniformidad o la simetría. Los poliedros convexos son aquellos que no tienen ninguna parte hundida o cóncava. Esto significa que si se traza un segmento entre dos puntos cualesquiera del poliedro, el segmento queda siempre dentro o en el borde del poliedro. Los poliedros regulares son convexos, sin embargo hay poliedros irregulares convexos, como los prismas, las pirámides, los antiprismas y los sólidos de Arquímedes. Prisma: Un prisma es un poliedro con dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y caras laterales que son paralelogramos. Pirámide: Una pirámide es un poliedro, constituido por un polígono simple (llamado base) y triángulos que tienen un único lado que coincide con uno del polígono base. GEOMETRÍA ESPACIAL98 Antiprisma: Un antiprisma es un poliedro que tiene dos caras iguales paralelas que, a diferencia del prisma, están giradas y reunidas por medio de triángulos. Sólido de Arquímedes: Los sólidos arquimedianos, también llamados poliedros semiregulares, son unos poliedros convexos formados por polígonos regulares de dos o más tipos. La mayoría de ellos se obtienen por truncamiento de los sólidos platónicos. Los poliedros cóncavos son aquellos que tienen alguna parte hundida o cóncava. Esto significa que si se traza un segmento entre dos puntos cualesquiera del poliedro, el segmento puede quedar fuera del poliedro. Los poliedros cóncavos son siempre irregulares, y algunos ejemplos son los poliedros estrellados, como el pequeño dodecaedro estrellado y el gran icosaedro estrellado. Los poliedros uniformes son aquellos que tienen todas sus caras regulares y todos sus vértices iguales. Esto significa que si se rota el poliedro alrededor de cualquier vértice, el poliedro queda igual que antes. Los poliedros regulares son uniformes, no obstante también hay poliedros irregulares uniformes, como los sólidos de Arquímedes, los prismas y los antiprismas. Los poliedros no uniformes son aquellos que no tienen todas sus caras regulares o no tienen todos sus vértices iguales. Esto significa que si se rota el poliedro alrededor de cualquier vértice, el poliedro no queda igual que antes. Los poliedros no uniformes son siempre irregulares, y algunos ejemplos son las pirámides, los prismoides y los poliedros de Johnson. Los poliedros simétricos son aquellos que tienen algún tipo de simetría, es decir, que se pueden transformar en sí mismos mediante una rotación, una reflexión o una traslación. Los poliedros regulares son simétricos, mas también hay poliedros irregulares simétricos, como los prismas, las pirámides, los antiprismas y los sólidos de Arquímedes. Los poliedros asimétricos son aquellos que no tienen ningún tipo de simetría, es decir, que no se pueden transformar en sí mismos mediante una rotación, una reflexión o una traslación. Los poliedros asimétricos son siempre irregulares, y algunos ejemplos son los poliedros de Johnson, como la bipirámide triangular giroelongada y el prisma pentagonal giroelongado. GEOMETRÍA ESPACIAL99 Cuerpos redondos: “Un cuerpo redondo es una figura geométrica sólida tridimensional que tiene, al menos, una de sus caras o superficie en forma curva.” Los cuerpos redondo también se pueden denominan cuerpos de revolución, pues pueden obtenerse a partir de una figura que gira alrededor de un eje. Los cuerpos redondos más comunes son el cono, el cilindro, la esfera y el anillo. Cono: El cono es un cuerpo redondo que se forma al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Tiene una base circular, una cara lateral curva y un vértice llamado cúspide. El cono puede ser recto, si el eje coincide con la altura, u oblicuo, si el eje y la altura no coinciden. El volumen del cono se calcula como un tercio del producto del área de la base por la altura: V = (1/3)πr^2h, donde r es el radio de la base y h es la altura. Cilindro: El cilindro es un cuerpo redondo que se forma al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Tiene dos bases circulares paralelas y una cara lateral curva. El cilindro puede ser recto, si el eje coincide con la altura, u oblicuo, si el eje y la altura no coinciden. El volumen del cilindro se calcula como el producto del área de la base por la altura: V = πr^2h, donde r es el radio de la base y h es la altura. El volumen ocupado por la hoja del arma láser será un cilindro, tanto en el plano literal como en el figurado. El segmento del arma, o la cuerda de esta, el lado por el que gira el hipotético rectángulo, que tendrá la misma longitud que el segmento del arma y un ancho de la mitad de la sección de la hoja. GEOMETRÍA ESPACIAL100 Esfera: La esfera es un cuerpo redondo que se forma al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro. Tiene una sola superficie curva y no tiene aristas ni vértices. El volumen de la esfera se calcula como cuatro tercios del producto del número pi por el cubo del radio: V = (4/3) πr^3, donde r es el radio de la esfera. Anillo: El anillo es un cuerpo redondo que se forma al girar un trapecio alrededor de uno de sus lados paralelos. Tiene dos bases circulares concéntricas y una cara lateral curva. El volumen del anillo se calcula como el producto del área de la sección transversal por la longitud de la circunferencia media: V = Ah, donde A es el área de la sección transversal y h es la longitud de la circunferencia media. GEOMETRÍA ESPACIAL101 Poliedros de Arquímedes y de Kepler-Poinsot: “Los poliedros de Arquímedes y de Kepler- Poinsot son dos familias de poliedros no convexos que se obtienen a partir de los poliedros regulares o sólidos platónicos.” Los poliedros de Arquímedes y de Kepler-Poinsot son interesantes desde el punto de vista matemático, estético y simbólico. Tienen propiedades geométricas, algebraicas y topológicas que los relacionan entre sí y con los poliedros regulares. También tienen una armonía que los hacen atractivos para el arte y el diseño. Además, tienen una historia y una asociación de la filosofía clásica que los vinculan regularmente con la naturaleza y el cosmos. Poliedros de Arquímedes: Los poliedros de Arquímedes son aquellos que tienen todas sus caras regulares, siendo de dos o más tipos, y todos sus vértices iguales. Se pueden obtener truncando o combinando los poliedros regulares. Hay trece poliedros de Arquímedes, que se conocen como el tetraedro truncado, el cubo truncado, el octaedro truncado, el icosaedro truncado, el dodecaedro truncado, el cuboctaedro, el icosaedro truncado, el dodecaedro truncado, el rombicuboctaedro, el rombicosidodecaedro, el snub cubo, el snub dodecaedro y el gran rombicuboctaedro. Poliedros de Kepler-Poinsot: Los poliedros de Kepler-Poinsot son aquellos que tienen todas sus caras regulares, siendo de forma estrellada, y todos sus vértices iguales. Se pueden obtener estrellando o prolongando las aristas de los poliedros regulares. Hay cuatro poliedros de Kepler-Poinsot, que se conocen como el pequeño dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro estrellado, el gran icosaedro y el gran dodecaedro. Estos poliedros se llaman poliedros de Kepler-Poinsot, en honor a los matemáticos Johannes Kepler y Louis Poinsot, que los descubrieron y estudiaron. ———— GEOMETRÍA ALGEBRAICA GEOMETRÍA ALGEBRAICA105 Coordenadas cartesianas y polares: “Las coordenadas cartesianas y polares son dos sistemas de referencia que permiten ubicar y medir los puntos en el plano o en el espacio.” Las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares son sistemas que se sirven para ubicar y relacionar puntos en un plano de proyección o en un espacio geométrico. Estas se basan en el uso de ejes, ángulos y distancias, que tienen diferentes formas de definirlos y expresarlos. Coordenadas cartesianas: Sistema de referencia en que se utilizan dos o tres ejes perpendiculares entre sí, llamados ejes x, y, z, que se cortan en un punto llamado origen. Cada punto del plano o del espacio se puede representar mediante un par o una terna ordenada de números reales, que indican la posición del punto respecto al origen y a los ejes. Las coordenadas cartesianas se originan en el trabajo del matemático francés René Descartes, que en el siglo XVII propuso un método para relacionar la geometría y el álgebra. Estos números se llaman coordenadas cartesianas, y se suelen escribir entre paréntesis y separados por comas. Por ejemplo, el punto P(2, -3, 4) se encuentra a dos unidades del origen en la dirección del eje x, a tres unidades en la dirección opuesta al eje y, y a cuatro unidades en la dirección del eje z. Coordenadas polares: Sistema de referencia en que se utiliza un eje llamado eje polar, que se toma como referencia, y un punto llamado polo, que se toma como origen. Cada punto del plano se puede representar mediante un par ordenado de números reales, que indican la distancia y el ángulo del punto respecto al polo y al eje polar. Las coordenadas polares se originan en el trabajo del matemático griego Arquímedes, que en el siglo III a.C. utilizó un sistema de medición basado en círculos concéntricos y radios. GEOMETRÍA ALGEBRAICA106 Estos números se llaman coordenadas polares, y se suelen escribir entre paréntesis y separados por una coma. Por ejemplo, el punto Q(5, 60º) se encuentra a cinco unidades del polo y forma un ángulo de 60º con el eje polar. Las coordenadas cartesianas y polares se pueden convertir entre sí mediante unas fórmulas que relacionan las variables de ambos sistemas. Estas fórmulas se pueden obtener aplicando el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas al triángulo rectángulo que se forma al trazar una perpendicular desde el punto al eje x o al eje polar. Las fórmulas son las siguientes: De cartesianas a polares: r = √(x^2 + y^2) θ = tan^-1(y / x) De polares a cartesianas: x = r * cos(θ) y = r * sin(θ) Estas fórmulas se pueden generalizar a tres dimensiones, añadiendo una tercera coordenada que indica la altura del punto respecto al plano xy o al plano polar. GEOMETRÍA ALGEBRAICA107 Vectores: “Los vectores son entidades matemáticas que se pueden representar mediante segmentos de recta orientados, y que sirven para describir magnitudes físicas que tienen, dirección, sentido y módulo.” Los vectores se pueden definir en el plano o en el espacio, y se pueden caracterizar por sus componentes, que son los números que indican la posición del vector respecto a un sistema de coordenadas. Los vectores se pueden operar mediante la suma, la resta, el producto escalar, el producto vectorial y el producto mixto, entre otras operaciones, y se pueden aplicar a diversos campos de la ciencia, la ingeniería, la informática y el arte. En el contexto esgrimístico laserino académico, los vectores tendrán una utilidad notable en la descripción de la dinámica de los elementos técnicos dentro del asalto, así como filosóficos fuera de él. Punto de aplicación: El punto de aplicación de un vector es el punto donde se sitúa el origen o la cola del vector, es decir, el punto desde donde se mide el vector. El punto de aplicación es importante para determinar la posición y el movimiento de un vector, así como para operar con vectores fijos o concurrentes. Sentido de un vector: El sentido de un vector es la dirección hacia donde apunta el vector, es decir, el lado donde se encuentra la punta o la cabeza del vector. El sentido se suele indicar mediante una flecha sobre el vector, y se puede invertir cambiando el signo del vector. El sentido es importante para determinar la orientación y la fuerza de un vector, así como para operar con vectores opuestos o perpendiculares. GEOMETRÍA ALGEBRAICA108 Dirección de un vector: La dirección de un vector es la recta que contiene al vector, es decir, el ángulo que forma el vector con un eje de referencia. La dirección se suele medir en grados o en radianes, y se puede modificar rotando el vector alrededor de su punto de aplicación. La dirección es importante para determinar la inclinación y la proyección de un vector, así como para operar con vectores colineales o coplanarios. Módulo de un vector: El módulo de un vector es la longitud o la magnitud del vector, es decir, la distancia entre el origen y la punta del vector. El módulo se suele representar mediante una letra minúscula o mediante el vector entre barras, y se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras o mediante el producto escalar. El módulo es importante para determinar el tamaño y la intensidad de un vector, así como para operar con vectores unitarios o nulos. Dependencia de un vector: La dependencia de un vector es la relación que existe entre un vector y otros vectores, es decir, si un vector se puede expresar como una combinación lineal de otros vectores. La dependencia se puede clasificar en lineal o afín, y se puede determinar mediante el rango o el determinante de una matriz de vectores. La dependencia es importante para determinar la independencia y la base de un vector, así como para operar con vectores paralelos u ortogonales. GEOMETRÍA ALGEBRAICA109 Los vectores se pueden clasificar según la naturaleza de sus elementos: Vectores libres: Los vectores libres son aquellos que solo dependen de su módulo, sentido y dirección, y que se pueden trasladar libremente sin alterar sus características. Vectores fijos: Los vectores fijos son aquellos que tienen un punto de aplicación fijo, y que no se pueden trasladar sin cambiar su posición. Vectores opuestos: Los vectores opuestos son aquellos que tienen el mismo módulo y dirección, con sentidos contrarios. Vectores colineales: Los vectores colineales son aquellos que comparten una misma recta de acción, es decir, que tienen la misma o paralela dirección. Vectores coplanarios: Los vectores coplanarios son aquellos que pertenecen a un mismo plano, es decir, que se pueden trasladar hasta que sus rectas de acción sean paralelas. Vectores concurrentes: Los vectores concurrentes son aquellos que se cortan en un mismo punto, es decir, que tienen un punto de aplicación común. Vectores perpendiculares: Los vectores perpendiculares son aquellos que forman un ángulo de 90º entre sí, es decir, que tienen direcciones ortogonales. GEOMETRÍA ALGEBRAICA110 Vectores unitarios: Los vectores unitarios son aquellos que tienen módulo igual a 1, es decir, que tienen la misma dirección y sentido que el vector original, con menor longitud. Vectores nulos: Los vectores nulos son aquellos que tienen módulo igual a 0, es decir, que no tienen dirección ni sentido definidos. GEOMETRÍA ALGEBRAICA111 Curvas y superficies algebraicas: “Las curvas y superficies algebraicas son objetos geométricos que se pueden definir mediante ecuaciones polinómicas.” Las curvas y superficies algebraicas son objetos de estudio de la geometría algebraica, una rama de las matemáticas que combina el álgebra y la geometría. Explicado de una forma estrictamente técnica, son el conjunto de puntos que satisfacen una o más ecuaciones, de la siguiente forma: f(x, y, z, …) = 0 Donde f es un polinomio en varias variables. Por ejemplo, una circunferencia con centro en el origen es una curva algebraica que se puede definir mediante la ecuación: x^2 + y^2 = r^2 Donde r es el radio de la circunferencia. Una esfera es una superficie algebraica que se puede definir mediante la ecuación: x^2 + y^2 + z^2 = r^2 Donde r es el radio de la esfera. La geometría algebraica se ocupa de analizar las propiedades de las curvas y superficies algebraicas, como su forma, su dimensión, su grado, su singularidad, su clasificación, su intersección, su simetría, su invariancia, etc. También se interesa por las relaciones entre las curvas y superficies algebraicas y otros conceptos matemáticos, como las funciones, los cuerpos, las variedades, los grupos, los anillos, los ideales, etc. GEOMETRÍA ALGEBRAICA112 Aplicaciones potenciales de las curvas y superficies algebraicas: “La comprensión de las curvas y superficies algebraicas permitirán representar la trazada de una hoja por el espacio, durante un tiempo concreto.” Siendo así, se posibilitará el estudio geométrico de esta, de manera precisa y absoluta, así como la interacción entre las hojas. La dinámica de cada una de las hojas podrá entenderse como una superficie algebraica. Así mismo, se podrán entender la dinámica cada uno de sus puntos de referencia de arma y anatomía de los tiradores, al tratarlos como curvas algebraicas, generadas en su tránsito por el espacio. “Las curvas y superficies algebraicas posibilitarán el estudio de la dinámica de los elementos implícitos en el asalto.” Además, en un plano más general, las curvas y superficies algebraicas podrán representar y modelar fenómenos naturales, físicos, químicos, biológicos, etc. Por ejemplo, las curvas elípticas se usan para describir las órbitas de los planetas, las superficies de Riemann se usan para estudiar las funciones complejas, las superficies de Kummer se usan para modelar el ADN, etc. Otra aplicación de las de las curvas y superficies algebraicas es la de resolver y simplificar problemas matemáticos, como ecuaciones, sistemas, integrales, derivadas, etc. Por ejemplo, las curvas de Bézier se usan para aproximar curvas complicadas, las superficies de Nash se usan para resolver ecuaciones diferenciales, las superficies de Enneper se usan para minimizar áreas, etc. También se podrá codificar y descifrar información, usando técnicas de criptografía y teoría de códigos. Por ejemplo, las curvas elípticas se usan para generar claves públicas y privadas, las superficies de Goppa se usan para construir códigos correctores de errores, las superficies de Kummer se usan para implementar algoritmos de factorización, etc. Esto tendrá una aplicación profunda en la estadística relativa al análisis de resultados de las interacciones y obras de los tiradores en asalto pues, con el suficiente volumen de datos, se podrá hacer un estudio de su técnica, que permita entender errores presentes que son escasamente notables sin el estudio específico. Es importante entender que las curvas y superficies algebraicas servirán para crear y manipular imágenes y gráficos, basados en geometría, usando programas informáticos de diseño y animación. Por ejemplo, las curvas de Bézier se usan para dibujar curvas suaves, las superficies de Bézier se usan para modelar objetos tridimensionales, las superficies de Catmull-Clark se usan para suavizar superficies poligonales, etc. GEOMETRÍA ALGEBRAICA113 Matrices: “Las matrices son arreglos bidimensionales de números, símbolos o expresiones, que se organizan en filas y columnas.” Las matrices se pueden representar entre paréntesis, corchetes o barras, y se pueden identificar por su dimensión, que es el número de filas por el número de columnas. Por ejemplo, una matriz de 2 x 3 tiene dos filas y tres columnas, y se puede escribir así: [1 2 3] [4 5 6] Las matrices se pueden operar mediante la suma, la resta, el producto por un escalar, el producto entre matrices, la inversa, la traspuesta y el determinante, entre otras operaciones. Estas operaciones tienen sus propias reglas y propiedades, que se pueden estudiar con el álgebra lineal. Las matrices tienen muchas aplicaciones en diversos campos de la ciencia, la ingeniería, la informática y la expresión artística: - Resolver sistemas de ecuaciones lineales, usando el método de Gauss-Jordan o la regla de Cramer. - Representar transformaciones lineales, como rotaciones, traslaciones, escalados y reflexiones, usando matrices de cambio de base o de rotación. - Codificar y descodificar información, usando matrices de cifrado o de compresión. - Modelar redes y grafos, usando matrices de adyacencia o de incidencia. - Analizar datos estadísticos, usando matrices de correlación o de covarianza. - Simular procesos dinámicos, usando matrices de transición o de Markov. - Crear imágenes y gráficos, usando matrices de píxeles o de colores. ———— GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA117 Geometría no euclidiana, generalidades: “La geometría no euclidiana es un conjunto de condiciones en las que los elementos que conforman lo material cumplen los cuatro primeros postulados de Euclides, mas no el quinto.” La geometría no euclidiana es un tipo de geometría que se basa en axiomas diferentes a los de la geometría euclidiana, que fue desarrollada por el matemático griego Euclides en su obra Elementos. La geometría euclidiana se basa en cinco postulados, de los cuales el quinto, conocido como el postulado de las paralelas, establece que por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela a la dada. Este postulado fue considerado menos evidente que los otros cuatro, y muchos matemáticos intentaron demostrarlo a partir de ellos, sin éxito. La geometría no euclidiana surge al reemplazar el postulado de las paralelas por otro diferente, o al relajar el requisito de que la distancia entre dos puntos se mida por una línea recta. “La geometría no euclidiana surge al modificar el quito postulado de Euclides.” Existen dos tipos principales de geometría no euclidiana: la geometría elíptica y la geometría hiperbólica. Geometría elíptica: En la geometría elíptica, no existen rectas paralelas, y la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180 grados. Geometría hiperbólica: En la geometría hiperbólica, por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas paralelas a la dada, y la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que 180 grados. A modo estrictamente ilustrativo, cabe decir que estas geometrías se pueden visualizar en superficies curvas, como una esfera en el caso de la geometría elíptica, o sobre una silla de montar en el caso de la geometría hiperbólica. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA118 Diferenciaciones principales de la geometría no euclidiana respecto a la geometría euclidiana: La noción de recta se generaliza a la de geodésica, que es la curva más corta entre dos puntos en una superficie. En la geometría no euclidiana, el concepto de ángulo se mantiene igual que en la geometría euclidiana, mientras que el de área y perímetro se modifica según la curvatura de la superficie. El teorema de Pitágoras solo se cumple en la geometría euclidiana, y se obtienen otras fórmulas para las geometrías hiperbólica y elíptica. El teorema de Tales, que establece que las rectas paralelas cortan a otras rectas en segmentos proporcionales, solo se aplica en la geometría euclidiana, y se obtienen otras proporciones para las geometrías hiperbólica y elíptica. El teorema de la circunferencia, que afirma que el ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central, se mantiene en las tres geometrías, mas el concepto de circunferencia se modifica según la curvatura de la superficie. La geometría no euclidiana tiene muchas aplicaciones en la física, la astronomía, la cartografía, el arte y otras áreas del conocimiento. Por ejemplo, la teoría de la relatividad general de Einstein utiliza la geometría no euclidiana para describir el espacio-tiempo curvo por la presencia de masa y energía. También se usan modelos no euclidianos para representar la forma de la Tierra, que no es exactamente una esfera, sino un geoide. Además, algunos artistas, como Escher, han explorado las posibilidades estéticas de la geometría no euclidiana en sus obras. Un ejemplo de esta geometría, dentro de la comprensión académica de la Esgrima Láser, es la diástasis o dimensión del medio, siendo esta concebida como un plano o espacio pentadimensional no euclidiano, sobre el que los tiradores podrán desplazarse, de manera independiente y adicional a las dimensiones espaciales y temporal. “La diástasis, o dimensión del medio, será concebida como un plano no euclidiano sobre la que los tiradores podrán desplazarse, de manera independiente a las dimensiones espaciales y temporal.” GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA119 Geometría elíptica: “La geometría elíptica es un tipo de geometría no euclidiana que se caracteriza por tener una curvatura positiva y constante, donde la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180 grados.” La geometría elíptica dicta que las líneas rectas de esta son en realidad curvas cerradas que se cortan entre sí en dos puntos, y que no existen líneas paralelas. Un ejemplo de superficie que tiene geometría elíptica es la esfera, como la superficie de la Tierra. La geometría elíptica se diferencia en varios aspectos de la geometría euclidiana, que es la geometría de las superficies planas. - La geometría elíptica, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180 grados, y depende del área del triángulo. También, - Teorema de Pitágoras no se cumple en general, y se obtienen otras fórmulas para calcular la longitud de los lados de un triángulo. - El concepto de área y perímetro cambia entre la geometría euclidiana y la elíptica, quedando en esta última dependiente de la distancia al centro de la esfera. Las características principales de la geometría elíptica son las siguientes: - La noción de recta se generaliza a la de geodésica, que es la curva más corta entre dos puntos en una superficie. - No existen rectas paralelas, y las rectas son en realidad curvas cerradas que se cortan entre sí en dos puntos. - La suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180 grados, y depende del área del triángulo. - El teorema de Pitágoras no se cumple en general, y se obtienen otras fórmulas para calcular la longitud de los lados de un triángulo. - El concepto de área y perímetro cambia, y depende de la distancia al centro de la esfera. - El teorema de la circunferencia se mantiene, sin embargo, el concepto de circunferencia se modifica según la curvatura de la superficie. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA120 La geometría elíptica tiene muchas aplicaciones en la física, la astronomía, la cartografía y el arte. Ejemplo recurrente de esto, es la teoría de la relatividad general de Einstein, que usa la geometría elíptica para describir el espacio-tiempo curvo, debido a la presencia de masa y energía. También se usan modelos elípticos para representar la forma de la Tierra, que no es exactamente una esfera, sino un geoide. Además, algunos artistas, como Escher, han explorado las posibilidades estéticas de la geometría elíptica en sus obras. La geometría elíptica tiene una aplicación notable en el análisis profundo del asalto. Esto aplica al estudio de la superficie exterior de la dimensión de cualquier medio, siendo más notable en el estudio del medio particular. Esto es así dado que el medio particular tiende a ser más definido que cualquier otro medio, y tenderá a configurarse como una forma relativamente curva. “Cualquier geometría proyectada sobre la superficie exterior de la diástasis tenderá a cumplir las condiciones de la geometría elíptica.” GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA121 Geometría hiperbólica: “La geometría hiperbólica es un tipo de geometría no euclidiana que se caracteriza por tener una curvatura negativa y constante, donde la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que 180 grados,” En esencia, esto significa que las líneas rectas de esta geometría son en realidad curvas abiertas que no se cortan entre sí, y que existen infinitas líneas paralelas a una dada que pasan por un punto exterior. Un ejemplo de superficie que tiene geometría hiperbólica es la pseudoesfera, que se obtiene al rotar una tractriz alrededor de su asíntota. La geometría hiperbólica se diferencia en varios aspectos de la geometría euclidiana, que es la geometría de las superficies planas. - En la geometría hiperbólica, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que 180 grados, y depende del área del triángulo. - El teorema de Pitágoras no se cumple en general, y se obtienen otras fórmulas para calcular la longitud de los lados de un triángulo. - El concepto de área y perímetro también cambia, y depende de la distancia al centro de la pseudoesfera. Las características principales de la geometría hiperbólica son las siguientes: - La noción de recta se generaliza a la de geodésica, que es la curva más corta entre dos puntos en una superficie. - El concepto de ángulo se mantiene igual que en la geometría euclidiana, mas el de área y perímetro se modifica según la curvatura de la superficie. - El teorema de Pitágoras solo se cumple en la geometría euclidiana, y se obtienen otras fórmulas para las geometrías hiperbólica y elíptica. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA122 - El teorema de Tales, que establece que las rectas paralelas cortan a otras rectas en segmentos proporcionales, solo se aplica en la geometría euclidiana, y se obtienen otras proporciones para las geometrías hiperbólica y elíptica. - El teorema de la circunferencia, que afirma que el ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central, se mantiene en las tres geometrías, mientras que el concepto de circunferencia se modifica según la curvatura de la superficie. La geometría hiperbólica tiene muchas aplicaciones en la física, la astronomía, la cartografía, el arte y otras áreas del conocimiento. Siendo nuevamente ejemplo de esta la teoría de la relatividad especial de Einstein, que utiliza la geometría hiperbólica para describir el espacio-tiempo plano con una métrica de Lorentz. También se usan modelos hiperbólicos para representar el espacio hiperbólico, que es el espacio de curvatura constante negativa. La geometría hiperbólica es la herramienta usada en la Esgrima Láser, por ejemplo, para determinar la dimensión, naturaleza y potencia de herir u obrar en el horizonte de sucesos del medio proporcional de un sujeto que, actuando spins o con potencia de herir de tajo, se desplaza por el plano inferior. Este sujeto generará una forma toroidal con su trazada en el espacio, siendo dentro de esa figura donde el medio le sería proporcionado, teniendo que usarse la geometría hiperbólica para la comprensión de la naturaleza y geometría proyectada sobre la superficie de este horizonte de sucesos del medio proporcional. Toroide: “El toroide es una superficie de revolución engendrada por una curva cerrada y plana que gira alrededor de una recta fija de su plano y exterior a ella.” GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA123 Geometría proyectiva: “La geometría proyectiva es la rama de la matemática que estudia las propiedades de incidencia de las figuras geométricas sin usar medidas ni comparar longitudes.” La geometría proyectiva se basa en los conceptos de perspectiva, horizonte y proyección. Se puede modelar con las líneas que pasan por el origen en un espacio tridimensional. Se aplica al estudio de curvas y superficies como las cónicas y las cuádricas. Se divide en: Homología: La homología es la proyección de dos figuras planas desde un punto exterior a sus planos, Afinidad: La afinidad es la transformación que conserva las proporciones entre segmentos paralelos. La geometría proyectiva se originó en el siglo XVII con los trabajos de Gérard Desargues, que fundamentó matemáticamente los métodos de la perspectiva que habían desarrollado los artistas del Renacimiento. Sin embargo, su obra pasó desapercibida hasta el siglo XIX, cuando Jean-Victor Poncelet, August Möbius, Arthur Cayley y otros matemáticos la retomaron y la ampliaron. Uno de los aportes más importantes de Poncelet fue el principio de dualidad, que establece que si en cualquier teorema proyectivo se intercambian las palabras punto y recta, se obtiene otro teorema igualmente válido. Algunos ejemplos de teoremas duales son los de Pascal y Brianchon, que relacionan los puntos de intersección de las rectas que unen los vértices opuestos de un hexágono inscrito o circunscrito en una cónica. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA124 La geometría proyectiva se diferencia notablemente de la geometría euclidiana, en distintos aspectos: - En la geometría proyectiva, no existen las rectas paralelas, sino que todas las rectas se cortan en un punto, que puede ser un punto del infinito o un punto impropio. - Estos puntos forman una recta del infinito o una recta impropia, que es la frontera del plano proyectivo. - En la geometría proyectiva, no se cumple el quinto postulado de Euclides, que establece que por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela a la dada. - En la geometría proyectiva se cumple el axioma de Desargues, que afirma que si dos triángulos están en perspectiva desde un punto, entonces están en perspectiva desde una recta. La geometría proyectiva tiene muchas aplicaciones en la física, la astronomía, la cartografía, el arte y otras áreas del conocimiento. De nuevo, un ejemplo ideal para la comprensión de la aplicabilidad de la geometría proyectiva, es la teoría de la relatividad general de Einstein, que utiliza la geometría proyectiva para describir distintas facetas del espacio-tiempo curvo por la presencia de masa y energía. En la Esgrima Láser, la geometría proyectiva es esencial para entender la representación gráfica de los elementos, cumpliendo escrupulosamente con proporciones de las formas y dinámicas. Siendo así, la geometría proyectiva es una herramienta fundamental para el estudio de los productos documentales y artísticos gráficos, pues de su comprensión depende la fiabilidad de lo tratado. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA125 Geometría afín: “La geometría afín es una rama de la matemática que estudia las propiedades geométricas que se conservan bajo las transformaciones afines, como las traslaciones, las rotaciones, las homotecias y las reflexiones.” Se puede decir, de una manera más sencilla y elemental que: “La geometría afín es el estudio de las propiedades geométricas que permanecen inmutables bajo las transformaciones afines.” Transformación afín: “Una transformación afín es el cambio de dimensión de una forma sin afectar a la relación lineal que existe entre sus elementos.” En esencia: “La geometría afín explica la el aumento y disminución de los cuerpos, así como el cambio de ubicación de estos, manteniendo sus proporciones.” Esta geometría da lugar a transformaciones que preservan la colinealidad, la proporcionalidad y el paralelismo de las figuras, mas no necesariamente las distancias ni los ángulos. La geometría afín se puede considerar como una generalización de la geometría euclídea, que es la geometría de las superficies planas, donde se ignoran el tercer y el cuarto postulado de Euclides. La geometría afín se basa en el concepto de espacio afín. Espacio afín: “El espacio afín es un conjunto de puntos que se pueden sumar con vectores, que no tienen un origen definido.” - Un espacio afín se puede obtener a partir de un espacio vectorial, que es un conjunto de vectores que se GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA126 pueden sumar y multiplicar por escalares, al elegir un punto arbitrario como origen y asignarle el vector nulo. - Un espacio afín se puede identificar con un espacio vectorial mediante una traslación, que es una transformación afín que suma un mismo vector a todos los puntos. Un espacio afín tiene una dimensión, que es el número de vectores linealmente independientes que se necesitan para generar todos los vectores del espacio. La geometría afín se divide en dos partes: la homología y la afinidad. Homología: “La homología del espacio afín es la proyección de dos figuras planas desde un punto exterior a sus planos, que conserva la colinealidad y la razón doble de los puntos.” La razón doble de cuatro puntos A, B, C y D en una recta es el cociente entre las razones de las distancias de los puntos, es decir, (AC/AD)/(BC/BD). La homología se puede representar mediante una matriz de 3x3, que tiene un determinante distinto de cero y que actúa sobre las coordenadas homogéneas de los puntos. La homología tiene un centro, que es el punto de intersección de las rectas que unen los puntos homólogos, y un eje, que es la recta que pasa por el centro y que contiene los puntos que son homólogos de sí mismos. Afinidad: “La afinidad del espacio afín es la transformación que conserva las proporciones entre segmentos paralelos, es decir, si A, B, C y D son cuatro puntos en dos rectas paralelas, entonces (AB/AC)=(A’B’/A’C’), donde A’, B’, C’ y D’ son sus imágenes por la afinidad.” La afinidad se puede representar mediante una matriz de 2x2, que tiene un determinante distinto de cero y que actúa sobre las coordenadas cartesianas de los puntos. La afinidad tiene una dirección, que es la recta que contiene los puntos que son afines de sí mismos, y una razón, que es el cociente entre las longitudes de los segmentos afines. La afinidad se puede descomponer en una homotecia, que es una transformación que multiplica las distancias por un mismo factor, y una rotación, que es una transformación que gira los puntos alrededor de un centro. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA127 La geometría afín es usada, dentro del ámbito académico de la Esgrima Láser, por ejemplo, para realizar la transformación de las propiedades y posibilidades de las distintas anatomías posibles de los tiradores. Esto quiere decir que la geometría afín es usada en la Esgrima Láser para entender cómo afecta al medio que un tirador posea una mayor o menor dimensión de sus elementos anatómicos, pues siempre existirán cuerpos con mayores dimensiones que otros, debiéndose entender la manera en la que la técnica esgrimística ha de adaptarse para conservar la funcionalidad. Geometría diferencial: “La geometría diferencial es una rama de la matemática que estudia la geometría usando las herramientas del análisis matemático y del álgebra multilineal.” Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables, que generalizan la noción de superficie en el espacio euclídeo, así como las aplicaciones diferenciables entre ellas. La geometría diferencial utiliza técnicas de cálculo diferencial, cálculo integral, álgebra lineal y álgebra multilineal. Variedades diferenciables: “Las variedades diferenciables son espacios topológicos que localmente se parecen al espacio euclídeo de cierta dimensión, y que además tienen una estructura diferenciable, es decir, un conjunto de cartas o sistemas de coordenadas que permiten definir funciones y derivadas en la variedad.” Las variedades diferenciables se pueden clasificar según su dimensión, su orientabilidad, su compacidad y su conectividad. Algunos ejemplos de variedades diferenciables son las curvas, las superficies, las esferas, los toros, los cilindros y los hiperplanos. Las aplicaciones diferenciables son funciones entre variedades diferenciables que preservan la estructura diferenciable, es decir, que son compatibles con las cartas o sistemas de coordenadas de las variedades. Las aplicaciones diferenciables se pueden medir según su grado de regularidad, que se expresa mediante el número de veces que se pueden derivar. Las aplicaciones diferenciables se pueden clasificar según su biyectividad, su inyectividad, su sobreyectividad y su linealidad. Algunos ejemplos de aplicaciones diferenciables son las proyecciones, las inclusiones, las restricciones, las isometrías y las homotopías. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA128 La geometría diferencial se ocupa de estudiar las propiedades geométricas de las variedades diferenciables y las aplicaciones diferenciables, así como de definir conceptos e invariantes que las caractericen. Algunos de estos conceptos e invariantes son: La tangente, que es la dirección de la derivada de una curva en un punto de una variedad. El plano tangente, que es el espacio vectorial generado por las tangentes de todas las curvas que pasan por un punto de una variedad. El espacio tangente, que es el conjunto de todos los planos tangentes de una variedad. La derivada, que es la razón de cambio de una función en un punto de una variedad. La diferencial, que es la aplicación lineal que relaciona los espacios tangentes de dos variedades mediante una aplicación diferenciable.